初级微积分示例

f (x) = x^{2} - 2 x - 8

$f (x) = x^{2} - 2 x - 8$

解题步骤 1

将

f (x) = x^{2} - 2 x - 8

$f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ 写为等式。

y = x^{2} - 2 x - 8

$y = x^{2} - 2 x - 8$

解题步骤 2

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 2.1

对

x^{2} - 2 x - 8

$x^{2} - 2 x - 8$ 进行配方。

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解题步骤 2.1.1

使用

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

a = 1

$a = 1$

b = - 2

$b = - 2$

c = - 8

$c = - 8$

解题步骤 2.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.1.3

使用公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

d

$d$ 的值。

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解题步骤 2.1.3.1

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.3.2

约去

- 2

$- 2$ 和

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.1

从

- 2

$- 2$ 中分解出因数

2

$2$ 。

d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.3.2.2.1

从

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ 中分解出因数

2

$2$ 。

d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

解题步骤 2.1.3.2.2.2

约去公因数。

d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.3.2.2.3

重写表达式。

d = \frac{- 1}{1}

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.1.3.2.2.4

用

- 1

$- 1$ 除以

1

$1$ 。

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

解题步骤 2.1.4

使用公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

e

$e$ 的值。

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解题步骤 2.1.4.1

将

c

$c$ 、

b

$b$ 和

a

$a$ 的值代入公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

e = - 8 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 8 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1

对

- 2

$- 2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

e = - 8 - \frac{4}{4 \cdot 1}

$e = - 8 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2

将

4

$4$ 乘以

1

$1$ 。

e = - 8 - \frac{4}{4}

$e = - 8 - \frac{4}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.1.3

约去

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1.3.1

约去公因数。

e = - 8 - \frac{4}{4}

$e = - 8 - \frac{4}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.1.3.2

重写表达式。

e = - 8 - 1 \cdot 1

$e = - 8 - 1 \cdot 1$

e = - 8 - 1 \cdot 1

$e = - 8 - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4.2.1.4

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

e = - 8 - 1

$e = - 8 - 1$

e = - 8 - 1

$e = - 8 - 1$

解题步骤 2.1.4.2.2

从

- 8

$- 8$ 中减去

1

$1$ 。

e = - 9

$e = - 9$

e = - 9

$e = - 9$

e = - 9

$e = - 9$

解题步骤 2.1.5

将

a

$a$ 、

d

$d$ 和

e

$e$ 的值代入顶点式

{(x - 1)}^{2} - 9

${(x - 1)}^{2} - 9$ 。

{(x - 1)}^{2} - 9

${(x - 1)}^{2} - 9$

{(x - 1)}^{2} - 9

${(x - 1)}^{2} - 9$

解题步骤 2.2

将

y

$y$ 设为等于右边新的值。

y = {(x - 1)}^{2} - 9

$y = {(x - 1)}^{2} - 9$

y = {(x - 1)}^{2} - 9

$y = {(x - 1)}^{2} - 9$

解题步骤 3

使用顶点式

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求

a

$a$ 、

h

$h$ 和

k

$k$ 的值。

a = 1

$a = 1$

h = 1

$h = 1$

k = - 9

$k = - 9$

解题步骤 4

因为

a

$a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 5

求顶点

(h, k)

$(h, k)$ 。

(1, - 9)

$(1, - 9)$

解题步骤 6

求

p

$p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 6.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 6.2

将

a

$a$ 的值代入公式中。

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.3

约去

1

$1$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.3.2

重写表达式。

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让

p

$p$ 加上 y 轴坐标

k

$k$ 求得抛物线的焦点。

(h, k + p)

$(h, k + p)$

解题步骤 7.2

将

h

$h$ 、

p

$p$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

(1, - \frac{35}{4})

$(1, - \frac{35}{4})$

(1, - \frac{35}{4})

$(1, - \frac{35}{4})$

解题步骤 8

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

x = 1

$x = 1$

解题步骤 9

求准线。

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解题步骤 9.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标

k

$k$ 减去

p

$p$ 求得的水平线。

y = k - p

$y = k - p$

解题步骤 9.2

将

p

$p$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

y = - \frac{37}{4}

$y = - \frac{37}{4}$

y = - \frac{37}{4}

$y = - \frac{37}{4}$

解题步骤 10

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点：

(1, - 9)

$(1, - 9)$

焦点：

(1, - \frac{35}{4})

$(1, - \frac{35}{4})$

对称轴：

x = 1

$x = 1$

准线：

y = - \frac{37}{4}

$y = - \frac{37}{4}$

解题步骤 11

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