初级微积分示例

(2, 3)

$(2, 3)$ ,

(- 1, - 5)

$(- 1, - 5)$

解题步骤 1

顶点为

(h, k)

$(h, k)$ 的二次抛物线的一般方程是

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 。在本例中，已知

(2, 3)

$(2, 3)$ 为顶点

(h, k)

$(h, k)$ 且

(- 1, - 5)

$(- 1, - 5)$ 是抛物线上的点

(x, y)

$(x, y)$ 。若要求

a

$a$ ，将两点代入

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 。

- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3

$- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$

解题步骤 2

使用

- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3

$- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$ 求解

a

$a$ 、

a = - \frac{8}{9}

$a = - \frac{8}{9}$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为

a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5

$a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$ 。

a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5

$a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

2

$2$ 。

a {(- 1 - 2)}^{2} + 3 = - 5

$a {(- 1 - 2)}^{2} + 3 = - 5$

解题步骤 2.2.2

从

- 1

$- 1$ 中减去

2

$2$ 。

a {(- 3)}^{2} + 3 = - 5

$a {(- 3)}^{2} + 3 = - 5$

解题步骤 2.2.3

对

- 3

$- 3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

a \cdot 9 + 3 = - 5

$a \cdot 9 + 3 = - 5$

解题步骤 2.2.4

将

9

$9$ 移到

a

$a$ 的左侧。

9 a + 3 = - 5

$9 a + 3 = - 5$

9 a + 3 = - 5

$9 a + 3 = - 5$

解题步骤 2.3

将所有不包含

a

$a$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.1

从等式两边同时减去

3

$3$ 。

9 a = - 5 - 3

$9 a = - 5 - 3$

解题步骤 2.3.2

从

- 5

$- 5$ 中减去

3

$3$ 。

9 a = - 8

$9 a = - 8$

9 a = - 8

$9 a = - 8$

解题步骤 2.4

将

9 a = - 8

$9 a = - 8$ 中的每一项除以

9

$9$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将

9 a = - 8

$9 a = - 8$ 中的每一项都除以

9

$9$ 。

\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去

9

$9$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

解题步骤 2.4.2.1.2

用

$a$ 除以

$1$ 。

$a = \frac{- 8}{9}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$a = - \frac{8}{9}$

解题步骤 3

使用

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ ，即顶点为

$(2, 3)$ 的抛物线的一般方程且

$a = - \frac{8}{9}$ 为

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ 。

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

解题步骤 4

求解

$y$ 的

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ 。

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解题步骤 4.1

去掉圆括号。

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

解题步骤 4.2

将

$- \frac{8}{9}$ 乘以

${(x - (2))}^{2}$ 。

$y = - \frac{8}{9} \cdot {(x - (2))}^{2} + 3$

解题步骤 4.3

去掉圆括号。

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

解题步骤 4.4

化简

$(- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ 。

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解题步骤 4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.1

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

解题步骤 4.4.1.2

将

${(x - 2)}^{2}$ 重写为

$(x - 2) (x - 2)$ 。

$y = - \frac{8}{9} ((x - 2) (x - 2)) + 3$

解题步骤 4.4.1.3

使用 FOIL 方法展开

$(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 4.4.1.3.1

运用分配律。

$y = - \frac{8}{9} (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 3$

解题步骤 4.4.1.3.2

运用分配律。

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 3$

解题步骤 4.4.1.3.3

运用分配律。

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

解题步骤 4.4.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.4.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.4.1.1

将

$x$ 乘以

$x$ 。

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

解题步骤 4.4.1.4.1.2

将

$- 2$ 移到

$x$ 的左侧。

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

解题步骤 4.4.1.4.1.3

将

$- 2$ 乘以

$- 2$ 。

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 3$

解题步骤 4.4.1.4.2

从

$- 2 x$ 中减去

$2 x$ 。

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 4 x + 4) + 3$

解题步骤 4.4.1.5

运用分配律。

$y = - \frac{8}{9} x^{2} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

解题步骤 4.4.1.6

化简。

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解题步骤 4.4.1.6.1

组合

$x^{2}$ 和

$\frac{8}{9}$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

解题步骤 4.4.1.6.2

乘以

$- \frac{8}{9} (- 4 x)$ 。

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解题步骤 4.4.1.6.2.1

将

$- 4$ 乘以

$- 1$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + 4 (\frac{8}{9}) x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

解题步骤 4.4.1.6.2.2

组合

$4$ 和

$\frac{8}{9}$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{4 \cdot 8}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

解题步骤 4.4.1.6.2.3

将

$4$ 乘以

$8$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

解题步骤 4.4.1.6.2.4

组合

$\frac{32}{9}$ 和

$x$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

解题步骤 4.4.1.6.3

乘以

$- \frac{8}{9} \cdot 4$ 。

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解题步骤 4.4.1.6.3.1

将

$4$ 乘以

$- 1$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - 4 (\frac{8}{9}) + 3$

解题步骤 4.4.1.6.3.2

组合

$- 4$ 和

$\frac{8}{9}$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 4 \cdot 8}{9} + 3$

解题步骤 4.4.1.6.3.3

将

$- 4$ 乘以

$8$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

解题步骤 4.4.1.7

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.7.1

将

$8$ 移到

$x^{2}$ 的左侧。

$y = - \frac{8 \cdot x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

解题步骤 4.4.1.7.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3$

解题步骤 4.4.2

要将

$3$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{9}{9}$ 。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 4.4.3

组合

$3$ 和

$\frac{9}{9}$ 。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

解题步骤 4.4.4

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 3 \cdot 9}{9}$

解题步骤 4.4.5

化简分子。

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解题步骤 4.4.5.1

将

$3$ 乘以

$9$ 。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 27}{9}$

解题步骤 4.4.5.2

将

$- 32$ 和

$27$ 相加。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 5}{9}$

解题步骤 4.4.6

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{5}{9}$

解题步骤 5

标准形式和顶点式详情如下。

标准形式：

$y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

顶点式：

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

解题步骤 6

化简标准式。

标准形式：

$y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

顶点式：

$y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

解题步骤 7

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