初级微积分示例

x^{2} + 4 y^{2} = 16

$x^{2} + 4 y^{2} = 16$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

将每一项除以

16

$16$ 以使方程右边等于一。

\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

解题步骤 1.2

化简方程中的每一项，使右边等于

1

$1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为

1

$1$ 。

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量

a

$a$ 表示椭圆长轴的半径，

b

$b$ 表示椭圆短轴的半径，

h

$h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量，

k

$k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

a = 4

$a = 4$

b = 2

$b = 2$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合

(h, k)

$(h, k)$ 的形式。代入

h

$h$ 和

k

$k$ 的值。

(0, 0)

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处

c

$c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式。

\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对

4

$4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{16 - {(2)}^{2}}

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{16 - 1 \cdot 4}

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

4

$4$ 。

\sqrt{16 - 4}

$\sqrt{16 - 4}$

解题步骤 5.3.4

从

16

$16$ 中减去

4

$4$ 。

\sqrt{12}

$\sqrt{12}$

解题步骤 5.3.5

将

12

$12$ 重写为

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

从

12

$12$ 中分解出因数

4

$4$ 。

\sqrt{4 (3)}

$\sqrt{4 (3)}$

解题步骤 5.3.5.2

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

解题步骤 5.3.6

从根式下提出各项。

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过

h

$h$ 加上

a

$a$ 求得。

(h + a, k)

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将

h

$h$ 、

a

$a$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式。

(0 + 4, 0)

$(0 + 4, 0)$

解题步骤 6.3

化简。

(4, 0)

$(4, 0)$

解题步骤 6.4

椭圆的第二个顶点可通过让

h

$h$ 减去

a

$a$ 求出。

(h - a, k)

$(h - a, k)$

解题步骤 6.5

将

h

$h$ 、

a

$a$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式。

(0 - (4), 0)

$(0 - (4), 0)$

解题步骤 6.6

化简。

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过

c

$c$ 加上

h

$h$ 求得。

(h + c, k)

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将

h

$h$ 、

c

$c$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式。

(0 + 2 \sqrt{3}, 0)

$(0 + 2 \sqrt{3}, 0)$

解题步骤 7.3

化简。

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

解题步骤 7.4

椭圆的第二个焦点可通过从

h

$h$ 中减去

c

$c$ 求得。

(h - c, k)

$(h - c, k)$

解题步骤 7.5

将

h

$h$ 、

c

$c$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式。

(0 - (2 \sqrt{3}), 0)

$(0 - (2 \sqrt{3}), 0)$

解题步骤 7.6

化简。

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式。

\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1

对

4

$4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

解题步骤 8.3.1.2

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

解题步骤 8.3.1.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

4

$4$ 。

\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

解题步骤 8.3.1.4

从

16

$16$ 中减去

4

$4$ 。

\frac{\sqrt{12}}{4}

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

解题步骤 8.3.1.5

将

12

$12$ 重写为

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.3.1.5.1

从

12

$12$ 中分解出因数

4

$4$ 。

\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

解题步骤 8.3.1.5.2

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

解题步骤 8.3.1.6

从根式下提出各项。

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8.3.2

约去

2

$2$ 和

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$ 中分解出因数

2

$2$ 。

\frac{2 (\sqrt{3})}{4}

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从

4

$4$ 中分解出因数

2

$2$ 。

\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点：

$(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ :

$(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ :

$(- 4, 0)$

${Focus}_{1}$ :

$(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ :

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

离心率：

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10

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