初级微积分示例

$4 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

将每一项除以 $12$ 以使方程右边等于一。

$\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

解题步骤 1.2

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 2$

$b = \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{4 - 3^{1}}$

解题步骤 5.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{4 - 3}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\sqrt{1}$

解题步骤 5.3.3.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + 2)$

解题步骤 6.3

化简。

$(0, 2)$

解题步骤 6.4

椭圆的第二个顶点可通过让 $k$ 减去 $a$ 求出。

$(h, k - a)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (2))$

解题步骤 6.6

化简。

$(0, - 2)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + 1)$

解题步骤 7.3

化简。

$(0, 1)$

解题步骤 7.4

椭圆的第一个焦点可通过 $k$ 减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (1))$

解题步骤 7.6

化简。

$(0, - 1)$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(0, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 1)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

解题步骤 8.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

解题步骤 8.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

解题步骤 8.3.2.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}$

解题步骤 8.3.2.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}$

解题步骤 8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{4 - 3}}{2}$

解题步骤 8.3.4

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\sqrt{1}}{2}$

解题步骤 8.3.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 1)$

离心率： $\frac{1}{2}$

解题步骤 10

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