初级微积分示例

(5 x^{3} + 21 x^{2} - 16) \div (x + 4)

$(5 x^{3} + 21 x^{2} - 16) \div (x + 4)$

解题步骤 1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带

0

$0$ 值的项。

x

$x$

4

$4$

5 x^{3}

$5 x^{3}$

21 x^{2}

$21 x^{2}$

0 x

$0 x$

16

$16$

解题步骤 2

将被除数中的最高阶项

5 x^{3}

$5 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

					$5 x^{2}$ $5 x^{2}$
	$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$

解题步骤 3

将新的商式项乘以除数。

				$5 x^{2}$ $5 x^{2}$
$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$
			+	$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$20 x^{2}$ $20 x^{2}$

解题步骤 4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

5 x^{3} + 20 x^{2}

$5 x^{3} + 20 x^{2}$ 中的所有符号

				$5 x^{2}$ $5 x^{2}$
$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$
			-	$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$ $20 x^{2}$

解题步骤 5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$5 x^{2}$ $5 x^{2}$
$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$
			-	$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$ $20 x^{2}$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$

解题步骤 6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$5 x^{2}$ $5 x^{2}$
$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$
			-	$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$ $20 x^{2}$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$

解题步骤 7

将被除数中的最高阶项

x^{2}

$x^{2}$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

				$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$
			-	$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$ $20 x^{2}$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$

解题步骤 8

将新的商式项乘以除数。

				$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$
			-	$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$ $20 x^{2}$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$

解题步骤 9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

x^{2} + 4 x

$x^{2} + 4 x$ 中的所有符号

				$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$
			-	$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$ $20 x^{2}$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$

解题步骤 10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$
			-	$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$ $20 x^{2}$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$

解题步骤 11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$
			-	$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$ $20 x^{2}$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	-	$16$ $16$

解题步骤 12

将被除数中的最高阶项

- 4 x

$- 4 x$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

				$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$4$ $4$
$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$
			-	$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$ $20 x^{2}$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	-	$16$ $16$

解题步骤 13

将新的商式项乘以除数。

				$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$4$ $4$
$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$
			-	$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$ $20 x^{2}$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	-	$16$ $16$
							-	$4 x$ $4 x$	-	$16$ $16$

解题步骤 14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

- 4 x - 16

$- 4 x - 16$ 中的所有符号

				$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$4$ $4$
$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$
			-	$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$ $20 x^{2}$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	-	$16$ $16$
							+	$4 x$ $4 x$	+	$16$ $16$

解题步骤 15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$4$ $4$
$x$ $x$	+	$4$ $4$		$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	+	$21 x^{2}$ $21 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	-	$16$ $16$
			-	$5 x^{3}$ $5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$ $20 x^{2}$
					+	$x^{2}$ $x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$x^{2}$ $x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	-	$16$ $16$
							+	$4 x$ $4 x$	+	$16$ $16$
										$0$ $0$

解题步骤 16

因为余数为

0

$0$ ，所以最终答案是商。

5 x^{2} + x - 4

$5 x^{2} + x - 4$

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