初级微积分示例

$y = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $3$ 。

$- 1, 4$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}$

解题步骤 2

对 $x^{2} - 1$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3.2

重写表达式。

$y = \frac{x + 4}{x + 1}$

解题步骤 4

要求图像中的空心点，请考虑被约去的分母因数。

$x - 1$

解题步骤 5

要求空心点的坐标，请将每个被约去的因数设为等于 $0$ 并求解，然后代回到 $\frac{x + 4}{x + 1}$ 中。

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解题步骤 5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.3

代入 $1$ 替换 $\frac{x + 4}{x + 1}$ 中的 $x$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

代入 $1$ 替换 $x$ 以求空心点的 $y$ 坐标。

$\frac{1 + 4}{1 + 1}$

解题步骤 5.3.2

化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{5}{1 + 1}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5}{2}$

解题步骤 5.4

图像中的空心点是指被约去的因式等于 $0$ 的点。

$(1, \frac{5}{2})$

解题步骤 6

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