初级微积分示例

f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

解题步骤 1

对

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使用有理根检验法因式分解

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 。

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解题步骤 1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ 的形式，其中

p

$p$ 为常数的因数，而

q

$q$ 为首项系数的因数。

p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

解题步骤 1.1.2

求

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

解题步骤 1.1.3

代入

1

$1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于

0

$0$ ，所以

1

$1$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.1.3.1

将

1

$1$ 代入多项式。

1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

解题步骤 1.1.3.2

对

1

$1$ 进行

3

$3$ 次方运算。

1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

解题步骤 1.1.3.3

对

1

$1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

解题步骤 1.1.3.4

将

4

$4$ 乘以

1

$1$ 。

1 + 4 + 1 - 6

$1 + 4 + 1 - 6$

解题步骤 1.1.3.5

将

1

$1$ 和

4

$4$ 相加。

5 + 1 - 6

$5 + 1 - 6$

解题步骤 1.1.3.6

将

5

$5$ 和

1

$1$ 相加。

6 - 6

$6 - 6$

解题步骤 1.1.3.7

从

6

$6$ 中减去

6

$6$ 。

0

$0$

0

$0$

解题步骤 1.1.4

因为

1

$1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以

x - 1

$x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

解题步骤 1.1.5

用

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 除以

x - 1

$x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带

0

$0$ 值的项。

x

$x$

1

$1$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

x

$x$

6

$6$

解题步骤 1.1.5.2

将被除数中的最高阶项

x^{3}

$x^{3}$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$

解题步骤 1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$x^{2}$ $x^{2}$

解题步骤 1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

x^{3} - x^{2}

$x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$

解题步骤 1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$

解题步骤 1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$

解题步骤 1.1.5.7

将被除数中的最高阶项

5 x^{2}

$5 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$

解题步骤 1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	-	$5 x$ $5 x$

解题步骤 1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

5 x^{2} - 5 x

$5 x^{2} - 5 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$

解题步骤 1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$

解题步骤 1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

解题步骤 1.1.5.12

将被除数中的最高阶项

6 x

$6 x$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

解题步骤 1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

解题步骤 1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

6 x - 6

$6 x - 6$ 中的所有符号

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$
							-	$6 x$ $6 x$	+	$6$ $6$

解题步骤 1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$
							-	$6 x$ $6 x$	+	$6$ $6$
										$0$ $0$

解题步骤 1.1.5.16

因为余数为

0

$0$ ，所以最终答案是商。

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$

解题步骤 1.1.6

将

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 书写为因数的集合。

f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

使用 AC 法来对

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1.1

思考一下

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

c

$c$ ，且和为

b

$b$ 。在本例中，其积即为

6

$6$ ，和为

5

$5$ 。

2, 3

$2, 3$

解题步骤 1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

解题步骤 1.2.2

去掉多余的括号。

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

c

$c$ ，且和为

b

$b$ 。在本例中，其积即为

6

$6$ ，和为

5

$5$ 。

2, 3

$2, 3$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

解题步骤 3

约去

x + 2

$x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

解题步骤 3.2

重写表达式。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 4

约去

$x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 4.2

用

$x - 1$ 除以

$1$ 。

$f (x) = x - 1$

解题步骤 5

要求图像中的空心点，请考虑被约去的分母因数。

$x + 2, x + 3$

解题步骤 6

要求空心点的坐标，请将每个被约去的因数设为等于

$0$ 并求解，然后代回到

$x - 1$ 中。

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解题步骤 6.1

将

$x + 2$ 设为等于

$0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去

$2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 6.3

代入

$- 2$ 替换

$x - 1$ 中的

$x$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

代入

$- 2$ 替换

$x$ 以求空心点的

$y$ 坐标。

$- 2 - 1$

解题步骤 6.3.2

从

$- 2$ 中减去

$1$ 。

$- 3$

解题步骤 6.4

将

$x + 3$ 设为等于

$0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 6.5

从等式两边同时减去

$3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 6.6

代入

$- 3$ 替换

$x - 1$ 中的

$x$ 并化简。

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解题步骤 6.6.1

代入

$- 3$ 替换

$x$ 以求空心点的

$y$ 坐标。

$- 3 - 1$

解题步骤 6.6.2

从

$- 3$ 中减去

$1$ 。

$- 4$

解题步骤 6.7

图像中的空心点是指被约去的因式等于

$0$ 的点。

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

解题步骤 7

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