示例

$A = [\begin{array}{c} 17 & 1 & 8 \\ 1 & 2 & 6 \end{array}]$ , $x = [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}]$

解题步骤 1

$C_{1} \cdot [\begin{array}{c} 17 \\ 1 \end{array}] + C_{2} \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}] + C_{3} \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 6 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}]$

解题步骤 2

$C_{1} + 2 C_{2} + 6 C_{3} = 3 17 C_{1} + C_{2} + 8 C_{3} = 1$

解题步骤 3

以矩阵形式书写方程组。

$[\begin{array}{c} 17 & 1 & 8 & 1 \\ 1 & 2 & 6 & 3 \end{array}]$

解题步骤 4

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{17}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 4.1.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{17}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{17}{17} & \frac{1}{17} & \frac{8}{17} & \frac{1}{17} \\ 1 & 2 & 6 & 3 \end{array}]$

解题步骤 4.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{17} & \frac{8}{17} & \frac{1}{17} \\ 1 & 2 & 6 & 3 \end{array}]$

解题步骤 4.2

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 4.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{17} & \frac{8}{17} & \frac{1}{17} \\ 1 - 1 & 2 - \frac{1}{17} & 6 - \frac{8}{17} & 3 - \frac{1}{17} \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{17} & \frac{8}{17} & \frac{1}{17} \\ 0 & \frac{33}{17} & \frac{94}{17} & \frac{50}{17} \end{array}]$

解题步骤 4.3

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{17}{33}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{17}{33}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{17} & \frac{8}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{17}{33} \cdot 0 & \frac{17}{33} \cdot \frac{33}{17} & \frac{17}{33} \cdot \frac{94}{17} & \frac{17}{33} \cdot \frac{50}{17} \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{17} & \frac{8}{17} & \frac{1}{17} \\ 0 & 1 & \frac{94}{33} & \frac{50}{33} \end{array}]$

解题步骤 4.4

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{17} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 4.4.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{17} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{17} \cdot 0 & \frac{1}{17} - \frac{1}{17} \cdot 1 & \frac{8}{17} - \frac{1}{17} \cdot \frac{94}{33} & \frac{1}{17} - \frac{1}{17} \cdot \frac{50}{33} \\ 0 & 1 & \frac{94}{33} & \frac{50}{33} \end{array}]$

解题步骤 4.4.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{10}{33} & - \frac{1}{33} \\ 0 & 1 & \frac{94}{33} & \frac{50}{33} \end{array}]$

解题步骤 5

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$C_{1} + \frac{10 C_{3}}{33} = - \frac{1}{33}$

$C_{2} + \frac{94 C_{3}}{33} = \frac{50}{33}$

解题步骤 6

从等式两边同时减去 $\frac{10 C_{3}}{33}$ 。

$C_{1} = - \frac{1}{33} - \frac{10 C_{3}}{33}$

$C_{2} + \frac{94 C_{3}}{33} = \frac{50}{33}$

解题步骤 7

从等式两边同时减去 $\frac{94 C_{3}}{33}$ 。

$C_{2} = \frac{50}{33} - \frac{94 C_{3}}{33}$

$C_{1} = - \frac{1}{33} - \frac{10 C_{3}}{33}$

解题步骤 8

解为使方程组成立的有序对集合。

$(- \frac{1}{33} - \frac{10 C_{3}}{33}, \frac{50}{33} - \frac{94 C_{3}}{33}, C_{3})$

解题步骤 9

不存在向量的变换，因为方程组无唯一解。因为不存在线性变换，所以该向量不属于列空间。

不在列空间内

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