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示例

$4 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x - 10$ , $x + 3$

解题步骤 1

将较高阶的多项式除以另一个多项式以求余式。

$\frac{4 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x - 10}{x + 3}$

解题步骤 2

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

+

$3$

$4 x^{3}$

+

$11 x^{2}$

-

$8 x$

-

$10$

解题步骤 3

将被除数中的最高阶项 $4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$

解题步骤 4

将新的商式项乘以除数。

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$
				+	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

解题步骤 5

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{3} + 12 x^{2}$ 中的所有符号

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$
				-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

解题步骤 6

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$
				-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
						-	$x^{2}$

解题步骤 7

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$
				-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
						-	$x^{2}$	-	$8 x$

解题步骤 8

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$4 x^{2}$	-	$x$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$
				-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
						-	$x^{2}$	-	$8 x$

解题步骤 9

将新的商式项乘以除数。

					$4 x^{2}$	-	$x$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$
				-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
						-	$x^{2}$	-	$8 x$
						-	$x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 10

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} - 3 x$ 中的所有符号

					$4 x^{2}$	-	$x$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$
				-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
						-	$x^{2}$	-	$8 x$
						+	$x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 11

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$4 x^{2}$	-	$x$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$
				-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
						-	$x^{2}$	-	$8 x$
						+	$x^{2}$	+	$3 x$
								-	$5 x$

解题步骤 12

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$4 x^{2}$	-	$x$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$
				-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
						-	$x^{2}$	-	$8 x$
						+	$x^{2}$	+	$3 x$
								-	$5 x$	-	$10$

解题步骤 13

将被除数中的最高阶项 $- 5 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$4 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$
				-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
						-	$x^{2}$	-	$8 x$
						+	$x^{2}$	+	$3 x$
								-	$5 x$	-	$10$

解题步骤 14

将新的商式项乘以除数。

					$4 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$
				-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
						-	$x^{2}$	-	$8 x$
						+	$x^{2}$	+	$3 x$
								-	$5 x$	-	$10$
								-	$5 x$	-	$15$

解题步骤 15

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 5 x - 15$ 中的所有符号

					$4 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$
				-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
						-	$x^{2}$	-	$8 x$
						+	$x^{2}$	+	$3 x$
								-	$5 x$	-	$10$
								+	$5 x$	+	$15$

解题步骤 16

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$4 x^{2}$	-	$x$	-	$5$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$8 x$	-	$10$
				-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
						-	$x^{2}$	-	$8 x$
						+	$x^{2}$	+	$3 x$
								-	$5 x$	-	$10$
								+	$5 x$	+	$15$
										+	$5$

解题步骤 17

最终答案为商加上余数除以除数。

$4 x^{2} - x - 5 + \frac{5}{x + 3}$

解题步骤 18

余数是整除 $x + 3$ 后剩下的答案中的一部分。

$5$

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$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$