示例

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 3 & 7 & - 1 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

解题步骤 1

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 1.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.1.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 7 - 3 \cdot 4 & - 1 - 3 \cdot 3 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

解题步骤 1.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

解题步骤 1.2

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.2.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 4 & 12 + 2 \cdot 3 \end{array}]$

解题步骤 1.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{5}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{5}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

解题步骤 1.4

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.4.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 & 18 - 9 \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.5.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2

主元位置是每行中以 $1$ 开头的位置。主元列是含主元位置的列。

主元位置： $a_{11}$ 和 $a_{22}$

主元列： $1$ 和 $2$

解题步骤 3

矩阵列空间的底数是通过考虑原始矩阵中相应主元列而形成的。 $Col (A)$ 的维数是 $Col (A)$ 的底数中向量的个数。

$Col (A)$ 的底数： $Col (A)$

$Col (A)$ 的维数： $2$

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