示例

f (x) = 5 x^{2} - 5 x + 1

$f (x) = 5 x^{2} - 5 x + 1$

解题步骤 1

二次函数最小值出现在

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ 。如果

a

$a$ 是正数，则函数的最小值是

f (- \frac{b}{2 a})

$f (- \frac{b}{2 a})$ 。

$f_{最小值}$

$x = a x^{2} + b x + c$ 在

$x = - \frac{b}{2 a}$ 出现

解题步骤 2

求

$x = - \frac{b}{2 a}$ 的值。

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解题步骤 2.1

代入

$a$ 和

$b$ 的值。

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

解题步骤 2.3

化简

$- \frac{- 5}{2 (5)}$ 。

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解题步骤 2.3.1

约去

$- 5$ 和

$5$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

从

$- 5$ 中分解出因数

$5$ 。

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

解题步骤 2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

从

$2 \cdot 5$ 中分解出因数

$5$ 。

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.2.2

约去公因数。

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.2.3

重写表达式。

$x = - \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2

将负号移到分数的前面。

$x = - - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.3

乘以

$- - \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$x = 1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 2.3.3.2

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 3

计算

$f (\frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的

$\frac{1}{2}$ 替换变量

$x$ 。

$f (\frac{1}{2}) = 5 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

对

$\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 3.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 3.2.1.3

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 3.2.1.4

组合

$5$ 和

$\frac{1}{4}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 3.2.1.5

组合

$- 5$ 和

$\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} + \frac{- 5}{2} + 1$

解题步骤 3.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1$

解题步骤 3.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.2.2.1

将

$\frac{5}{2}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - (\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

解题步骤 3.2.2.2

将

$\frac{5}{2}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1$

解题步骤 3.2.2.3

将

$1$ 写成分母为

$1$ 的分数。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

解题步骤 3.2.2.4

将

$\frac{1}{1}$ 乘以

$\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 3.2.2.5

将

$\frac{1}{1}$ 乘以

$\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{4}$

解题步骤 3.2.2.6

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 5 \cdot 2 + 4}{4}$

解题步骤 3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 3.2.4.1

将

$- 5$ 乘以

$2$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 10 + 4}{4}$

解题步骤 3.2.4.2

从

$5$ 中减去

$10$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 5 + 4}{4}$

解题步骤 3.2.4.3

将

$- 5$ 和

$4$ 相加。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 3.2.4.4

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

解题步骤 3.2.5

最终答案为

$- \frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 4

使用

$x$ 和

$y$ 的值求最小值出现的位置。

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

解题步骤 5

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