示例

$f (x) = x^{3}$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{3}$ 写为等式。

$y = x^{3}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = y^{3}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $y^{3} = x$ 。

$y^{3} = x$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{x}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$ 是否为 $f (x) = x^{3}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (x^{3})$ 。

$f^{- 1} (x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 5.2.3

去掉圆括号。

$f^{- 1} (x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 5.2.4

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (x^{3}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[3]{x})$ 。

$f (\sqrt[3]{x}) = {(\sqrt[3]{x})}^{3}$

解题步骤 5.3.3

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\sqrt[3]{x}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 5.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[3]{x}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 5.3.3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\sqrt[3]{x}) = x^{\frac{3}{3}}$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt[3]{x}) = x^{\frac{3}{3}}$

解题步骤 5.3.3.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt[3]{x}) = x$

解题步骤 5.3.3.5

化简。

$f (\sqrt[3]{x}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$ 为 $f (x) = x^{3}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$

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