示例

$(1, 2, 3)$ , $(2, 5, 6)$ , $(2, 9, 7)$ , $(3, 3, 3)$

解题步骤 1

给定点 $C = (2, 9, 7)$ 和点 $D = (3, 3, 3)$ , 求与直线 $CD$ 平行，且包含点 $A = (1, 2, 3)$ 和点 $B = (2, 5, 6)$ 的平面。

$A = (1, 2, 3)$

$B = (2, 5, 6)$

$C = (2, 9, 7)$

$D = (3, 3, 3)$

解题步骤 2

首先，计算通过点 $C$ 和 $D$ 的直线的方向向量。这可以通过取点 $C$ 的坐标值并从点 $D$ 中减去它们来实现。

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

解题步骤 3

替换 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的值，然后化简获得直线 $CD$ 的方向向量 $V_{CD}$ 。

$V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩$

解题步骤 4

用同样的方法计算通过点 $A$ 和 $B$ 的直线的方向向量。

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

解题步骤 5

替换 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的值，然后化简获得直线 $AB$ 的方向向量 $V_{AB}$ 。

$V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩$

解题步骤 6

所求平面将包含一条经过点 $A$ 和点 $B$ 的直线，且将具有方向向量 $V_{A B}$ 。为了使这个平面与直线 $C D$ 平行，需求与直线 $C D$ 的方向向量正交的平面法向量。求矩阵 $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ 的行列式，从而求交叉乘积 $V_{A B}$ x $V_{C D}$ ，进而计算该法向量。

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & - 6 & - 4 \end{array}]$

解题步骤 7

计算行列式。

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解题步骤 7.1

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 7.1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 7.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 7.1.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.1.4

将元素 $a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.1.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.1.6

将元素 $a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$- | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j$

解题步骤 7.1.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$

解题步骤 7.1.8

将元素 $a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.1.9

最后把这些项加起来。

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.2

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$i (3 \cdot - 4 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$i (- 12 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2.1.2

乘以 $- (- 6 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.2.1

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$i (- 12 - - 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 18$ 。

$i (- 12 + 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 12$ 和 $18$ 相加。

$i \cdot 6 - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.3

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$i \cdot 6 - (1 \cdot - 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.3.2

化简行列式。

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解题步骤 7.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$i \cdot 6 - (- 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$i \cdot 6 - (- 4 - 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.3.2.2

从 $- 4$ 中减去 $3$ 。

$i \cdot 6 - - 7 j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$i \cdot 6 - - 7 j + (1 \cdot - 6 - 1 \cdot 3) k$

解题步骤 7.4.2

化简行列式。

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解题步骤 7.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.2.1.1

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 1 \cdot 3) k$

解题步骤 7.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 3) k$

解题步骤 7.4.2.2

从 $- 6$ 中减去 $3$ 。

$i \cdot 6 - - 7 j - 9 k$

解题步骤 7.5

化简每一项。

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解题步骤 7.5.1

将 $6$ 移到 $i$ 的左侧。

$6 \cdot i - - 7 j - 9 k$

解题步骤 7.5.2

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$6 i + 7 j - 9 k$

解题步骤 8

因为点 $A$ 在平面上，所以应求表达式 $(6) x + (7) y + (- 9) z$ 在该点处的值。该值将用于计算平面方程中的常数。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 + (7) \cdot 2 + (- 9) \cdot 3$

解题步骤 8.1.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$6 + 14 + (- 9) \cdot 3$

解题步骤 8.1.3

将 $- 9$ 乘以 $3$ 。

$6 + 14 - 27$

解题步骤 8.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $6$ 和 $14$ 相加。

$20 - 27$

解题步骤 8.2.2

从 $20$ 中减去 $27$ 。

$- 7$

解题步骤 9

添加常数，得出坐标平面方程式 $(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$ 。

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$

解题步骤 10

将 $- 9$ 乘以 $z$ 。

$6 x + 7 y - 9 z = - 7$

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