示例

$3 x - y = - 4$ , $x - 2 y = - 3$

解题步骤 1

要求经过点 $(p, q, r)$ 且垂直于平面 $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ 和平面 $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ 直线的交点：

1. 求平面 $P_{1}$ 和平面 $P_{2}$ 的法向量 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 和 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。检验其点积是否为 0。

2. 创建一个参数方程组，比如 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ 。

3. 将这些等式代入平面方程 $P_{2}$ ，使得 $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ 并求解 $t$ 。

4. 使用 $t$ 的值，求解参数方程 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ ，以求 $t$ 的交集 $(x, y, z)$ 。

解题步骤 2

求每一平面的法向量并通过计算点积来判断它们是否垂直。

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解题步骤 2.1

$P_{1}$ 为 $3 x - y = - 4$ 。求平面方程 $a x + b y + c z = d$ 的法向量 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 。

$n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

解题步骤 2.2

$P_{2}$ 为 $x - 2 y = - 3$ 。求平面方程 $e x + f y + g z = h$ 的法向量 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。

$n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩$

解题步骤 2.3

将法向量中相对应的 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 数值乘积相加，计算 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 的点积。

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

解题步骤 2.4

化简点积。

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解题步骤 2.4.1

去掉圆括号。

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

解题步骤 2.4.2

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

解题步骤 2.4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$3 + 2 + 0 \cdot 0$

解题步骤 2.4.2.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$3 + 2 + 0$

解题步骤 2.4.3

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$5 + 0$

解题步骤 2.4.3.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$5$

解题步骤 3

下一步，使用点 $(p, q, r)$ 的原点 $(0, 0, 0)$ 和标准向量 $5$ 的 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值，建立一组参数方程 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ 。这组参数方程表示经过原点并与 $P_{1}$ $3 x - y = - 4$ 垂直的直线。

$x = 0 + 3 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

解题步骤 4

将表达式 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 代入 $P_{2}$ $x - 2 y = - 3$ 的方程。

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

解题步骤 5

求解 $t$ 的方程。

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解题步骤 5.1

化简 $(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ 。

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解题步骤 5.1.1

合并 $(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.1.1

将 $0$ 和 $3 \cdot t$ 相加。

$3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

解题步骤 5.1.1.2

从 $0$ 中减去 $1 \cdot t$ 。

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

解题步骤 5.1.2

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $- 1 t$ 重写为 $- t$ 。

$3 t - 2 (- t) = - 3$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$3 t + 2 t = - 3$

解题步骤 5.1.3

将 $3 t$ 和 $2 t$ 相加。

$5 t = - 3$

解题步骤 5.2

将 $5 t = - 3$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $5 t = - 3$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{- 3}{5}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$t = - \frac{3}{5}$

解题步骤 6

使用 $t$ 的值求解 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的参数方程。

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解题步骤 6.1

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.1.1

去掉圆括号。

$x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

解题步骤 6.1.2

去掉圆括号。

$x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$

解题步骤 6.1.3

化简 $0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.3.1.1

乘以 $3 (- \frac{3}{5})$ 。

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解题步骤 6.1.3.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x = 0 - 3 (\frac{3}{5})$

解题步骤 6.1.3.1.1.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{3}{5}$ 。

$x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}$

解题步骤 6.1.3.1.1.3

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

解题步骤 6.1.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$x = 0 - \frac{9}{5}$

解题步骤 6.1.3.2

从 $0$ 中减去 $\frac{9}{5}$ 。

$x = - \frac{9}{5}$

解题步骤 6.2

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 6.2.1

去掉圆括号。

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

解题步骤 6.2.2

去掉圆括号。

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$

解题步骤 6.2.3

化简 $0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

乘以 $- 1 (- \frac{3}{5})$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 0 + 1 (\frac{3}{5})$

解题步骤 6.2.3.1.2

将 $\frac{3}{5}$ 乘以 $1$ 。

$y = 0 + \frac{3}{5}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $0$ 和 $\frac{3}{5}$ 相加。

$y = \frac{3}{5}$

解题步骤 6.3

求解 $z$ 的方程。

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解题步骤 6.3.1

去掉圆括号。

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

解题步骤 6.3.2

去掉圆括号。

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$

解题步骤 6.3.3

化简 $0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

乘以 $0 (- \frac{3}{5})$ 。

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解题步骤 6.3.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$z = 0 + 0 (\frac{3}{5})$

解题步骤 6.3.3.1.2

将 $0$ 乘以 $\frac{3}{5}$ 。

$z = 0 + 0$

解题步骤 6.3.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$z = 0$

解题步骤 6.4

所求得的 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的参数方程。

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

解题步骤 7

使用对 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 计算所得的值，求得的交点为 $(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ 。

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$

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