示例

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

解题步骤 1

为每个向量命名。

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

解题步骤 2

第一个正交向量是给定向量集合中的第一个向量。

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

解题步骤 3

用公式求其他正交向量。

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

解题步骤 4

求正交向量

${v⃗}_{2}$ 。

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解题步骤 4.1

用公式求

${v⃗}_{2}$ 。

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

解题步骤 4.2

代入

$(0, 1, 1)$ 替换

${u⃗}_{2}$ 。

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

解题步骤 4.3

求

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ 。

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解题步骤 4.3.1

求点积。

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解题步骤 4.3.1.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.2

化简。

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解题步骤 4.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.2.1.1

将

$0$ 乘以

$1$ 。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.2.1.2

将

$1$ 乘以

$1$ 。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.2.1.3

将

$1$ 乘以

$1$ 。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

解题步骤 4.3.1.2.2

将

$0$ 和

$1$ 相加。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

解题步骤 4.3.1.2.3

将

$1$ 和

$1$ 相加。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

解题步骤 4.3.2

求

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ 的范数。

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解题步骤 4.3.2.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2.2

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

解题步骤 4.3.2.2.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

解题步骤 4.3.2.2.5

将

$2$ 和

$1$ 相加。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

解题步骤 4.3.3

用投影线公式求

${u⃗}_{2}$ 在

${v⃗}_{1}$ 上的投影线。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 4.3.4

代入

$2$ 替换

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 4.3.5

代入

$\sqrt{3}$ 替换

$| | {v⃗}_{1} | |$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 4.3.6

代入

$(1, 1, 1)$ 替换

${v⃗}_{1}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7

化简右边。

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解题步骤 4.3.7.1

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 4.3.7.1.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.1.4.1

约去公因数。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.4.2

重写表达式。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.5

计算指数。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.2

将

$\frac{2}{3}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.7.3

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.3.7.3.1

将

$\frac{2}{3}$ 乘以

$1$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.7.3.2

将

$\frac{2}{3}$ 乘以

$1$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.7.3.3

将

$\frac{2}{3}$ 乘以

$1$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

解题步骤 4.4

代入投影线。

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

合并矢量的每一个分量。

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.2

从

$0$ 中减去

$\frac{2}{3}$ 。

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.3

将

$1$ 写成具有公分母的分数。

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.4

在公分母上合并分子。

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.5

从

$3$ 中减去

$2$ 。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.6

将

$1$ 写成具有公分母的分数。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 4.5.7

在公分母上合并分子。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

解题步骤 4.5.8

从

$3$ 中减去

$2$ 。

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5

通过将每个正交向量除以其范数来求标准正交底数。

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

解题步骤 6

求单位向量

$\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ ，其中

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ 。

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解题步骤 6.1

要求出与向量

$v⃗$ 方向相同的单位向量，请除以范数

$v⃗$ 。

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

解题步骤 6.2

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 6.3.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

解题步骤 6.3.3

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

解题步骤 6.3.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\sqrt{2 + 1}$

解题步骤 6.3.5

将

$2$ 和

$1$ 相加。

$\sqrt{3}$

解题步骤 6.4

将向量除以其范数。

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

解题步骤 6.5

将向量中的每个元素除以

$\sqrt{3}$ 。

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

解题步骤 7

求单位向量

$\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ ，其中

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 7.1

要求出与向量

$v⃗$ 方向相同的单位向量，请除以范数

$v⃗$ 。

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

解题步骤 7.2

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

使用幂法则

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.3.1.1

对

$- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2

对

$\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 7.3.2

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 7.3.3

将

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ 乘以

$1$ 。

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 7.3.4

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 7.3.5

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 7.3.6

对

$\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 7.3.7

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 7.3.8

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 7.3.9

对

$\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 7.3.10

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

解题步骤 7.3.11

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 7.3.12

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 7.3.13

将

$4$ 和

$1$ 相加。

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 7.3.14

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

解题步骤 7.3.15

将

$5$ 和

$1$ 相加。

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

解题步骤 7.3.16

约去

$6$ 和

$9$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.16.1

从

$6$ 中分解出因数

$3$ 。

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

解题步骤 7.3.16.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.16.2.1

从

$9$ 中分解出因数

$3$ 。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 7.3.16.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 7.3.16.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

解题步骤 7.3.17

将

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7.4

将向量除以其范数。

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 7.5

将向量中的每个元素除以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 。

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 7.6

化简。

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解题步骤 7.6.1

将分子乘以分母的倒数。

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 7.6.2

将

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{2}{3}$ 。

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 7.6.3

将

$2$ 移到

$\sqrt{3}$ 的左侧。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 7.6.4

将

$3$ 移到

$\sqrt{2}$ 的左侧。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 7.6.5

将分子乘以分母的倒数。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 7.6.6

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 7.6.7

将分子乘以分母的倒数。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 7.6.8

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

解题步骤 8

代入已知值。

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

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