示例

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 81 - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ - 2 \end{array}]$ ,

x = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 - 1 1.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$x = [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 1.5 \end{array}]$

解题步骤 1

C_{1} \cdot ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 81 - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 - 1 1.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$C_{1} \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 1.5 \end{array}]$

解题步骤 2

- 2 C_{1} = 1.5 8 C_{1} = 4 C_{1} = - 1

$- 2 C_{1} = 1.5 8 C_{1} = 4 C_{1} = - 1$

解题步骤 3

以矩阵形式书写方程组。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 8 & 4 1 & - 1 - 2 & 1.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 8 & 4 \\ 1 & - 1 \\ - 2 & 1.5 \end{array}]$

解题步骤 4

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 4.1.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{8}{8} & \frac{4}{8} 1 & - 1 - 2 & 1.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{8}{8} & \frac{4}{8} \\ 1 & - 1 \\ - 2 & 1.5 \end{array}]$

解题步骤 4.1.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} 1 & - 1 - 2 & 1.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \\ - 2 & 1.5 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} 1 & - 1 - 2 & 1.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & - 1 \\ - 2 & 1.5 \end{array}]$

解题步骤 4.2

执行行操作

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 4.2.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} 1 - 1 & - 1 - \frac{1}{2} - 2 & 1.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ 1 - 1 & - 1 - \frac{1}{2} \\ - 2 & 1.5 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} 0 & - \frac{3}{2} - 2 & 1.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & - \frac{3}{2} \\ - 2 & 1.5 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} 0 & - \frac{3}{2} - 2 & 1.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & - \frac{3}{2} \\ - 2 & 1.5 \end{array}]$

解题步骤 4.3

执行行操作

R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 4.3.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} 0 & - \frac{3}{2} - 2 + 2 \cdot 1 & 1.5 + 2 (\frac{1}{2}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & - \frac{3}{2} \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1.5 + 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} 0 & - \frac{3}{2} 0 & 2.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 2.5 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} 0 & - \frac{3}{2} 0 & 2.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 2.5 \end{array}]$

解题步骤 4.4

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

- \frac{2}{3}

$- \frac{2}{3}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 4.4.1

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

- \frac{2}{3}

$- \frac{2}{3}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} (- \frac{3}{2}) 0 & 2.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ - \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} (- \frac{3}{2}) \\ 0 & 2.5 \end{array}]$

解题步骤 4.4.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} 0 & 1 0 & 2.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \\ 0 & 2.5 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} 0 & 1 0 & 2.5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \\ 0 & 2.5 \end{array}]$

解题步骤 4.5

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 2.5 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 2.5 R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 4.5.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 2.5 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 2.5 R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} 0 & 1 0 - 2.5 \cdot 0 & 2.5 - 2.5 \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \\ 0 - 2.5 \cdot 0 & 2.5 - 2.5 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.5.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.6

执行行操作

R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 4.6.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.6.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

C_{1} = 0

$C_{1} = 0$

0 = 1

$0 = 1$

解题步骤 6

因为

0 \neq 1

$0 \neq 1$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 7

不存在向量的变换，因为方程组无唯一解。因为不存在线性变换，所以该向量不属于列空间。

不在列空间内

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