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示例

$x^{3} - 11 x + 8$ , $x - 3$

解题步骤 1

将较高阶的多项式除以另一个多项式以求余式。

$\frac{x^{3} - 11 x + 8}{x - 3}$

解题步骤 2

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

-

$3$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

-

$11 x$

+

$8$

解题步骤 3

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$

解题步骤 4

将新的商式项乘以除数。

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$
				+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

解题步骤 5

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 3 x^{2}$ 中的所有符号

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

解题步骤 6

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						+	$3 x^{2}$

解题步骤 7

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						+	$3 x^{2}$	-	$11 x$

解题步骤 8

将被除数中的最高阶项 $3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$	+	$3 x$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						+	$3 x^{2}$	-	$11 x$

解题步骤 9

将新的商式项乘以除数。

					$x^{2}$	+	$3 x$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						+	$3 x^{2}$	-	$11 x$
						+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

解题步骤 10

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{2} - 9 x$ 中的所有符号

					$x^{2}$	+	$3 x$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						+	$3 x^{2}$	-	$11 x$
						-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

解题步骤 11

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x^{2}$	+	$3 x$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						+	$3 x^{2}$	-	$11 x$
						-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
								-	$2 x$

解题步骤 12

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$x^{2}$	+	$3 x$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						+	$3 x^{2}$	-	$11 x$
						-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
								-	$2 x$	+	$8$

解题步骤 13

将被除数中的最高阶项 $- 2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						+	$3 x^{2}$	-	$11 x$
						-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
								-	$2 x$	+	$8$

解题步骤 14

将新的商式项乘以除数。

					$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						+	$3 x^{2}$	-	$11 x$
						-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
								-	$2 x$	+	$8$
								-	$2 x$	+	$6$

解题步骤 15

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x + 6$ 中的所有符号

					$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						+	$3 x^{2}$	-	$11 x$
						-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
								-	$2 x$	+	$8$
								+	$2 x$	-	$6$

解题步骤 16

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$11 x$	+	$8$
				-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						+	$3 x^{2}$	-	$11 x$
						-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
								-	$2 x$	+	$8$
								+	$2 x$	-	$6$
										+	$2$

解题步骤 17

最终答案为商加上余数除以除数。

$x^{2} + 3 x - 2 + \frac{2}{x - 3}$

解题步骤 18

余数是整除 $x - 3$ 后剩下的答案中的一部分。

$2$

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$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$