示例

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 a - 6 b + 6 c a + 2 b + c 2 a + b + 2 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

解题步骤 1

变换核是使变换等于零向量（变换厡像）的一个向量。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 a - 6 b + 6 c a + 2 b + c 2 a + b + 2 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = 0

$[\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}] = 0$

解题步骤 2

从向量方程创建一个方程组。

2 a - 6 b + 6 c = 0

$2 a - 6 b + 6 c = 0$

a + 2 b + c = 0

$a + 2 b + c = 0$

2 a + b + 2 c = 0

$2 a + b + 2 c = 0$

解题步骤 3

把方程组写成矩阵。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 6 & 6 & 0 1 & 2 & 1 & 0 2 & 1 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 6 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 4.1.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{- 6}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} 1 & 2 & 1 & 0 2 & 1 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 6}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.1.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 1 & 2 & 1 & 0 2 & 1 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 1 & 2 & 1 & 0 2 & 1 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.2

执行行操作

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 4.2.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 1 - 1 & 2 + 3 & 1 - 3 & 0 - 0 2 & 1 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 1 - 1 & 2 + 3 & 1 - 3 & 0 - 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 5 & - 2 & 0 2 & 1 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 5 & - 2 & 0 2 & 1 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 4.3.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 5 & - 2 & 0 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 3 & 2 - 2 \cdot 3 & 0 - 2 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 3 & 2 - 2 \cdot 3 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 5 & - 2 & 0 0 & 7 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 5 & - 2 & 0 0 & 7 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.4

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 4.4.1

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 2}{5} & \frac{0}{5} 0 & 7 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 2}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.4.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 0 & 7 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 0 & 7 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.5

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 4.5.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 0 - 7 \cdot 0 & 7 - 7 \cdot 1 & - 4 - 7 (- \frac{2}{5}) & 0 - 7 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 - 7 \cdot 0 & 7 - 7 \cdot 1 & - 4 - 7 (- \frac{2}{5}) & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.5.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 0 & 0 & - \frac{6}{5} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{6}{5} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 0 & 0 & - \frac{6}{5} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{6}{5} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.6

将

R_{3}

$R_{3}$ 的每个元素乘以

- \frac{5}{6}

$- \frac{5}{6}$ ，使

3, 3

$3, 3$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 4.6.1

将

R_{3}

$R_{3}$ 的每个元素乘以

- \frac{5}{6}

$- \frac{5}{6}$ ，使

3, 3

$3, 3$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} (- \frac{6}{5}) & - \frac{5}{6} \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} (- \frac{6}{5}) & - \frac{5}{6} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.6.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.7

执行行操作

R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}

$R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ 使

2, 3

$2, 3$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 4.7.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}

$R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ 使

2, 3

$2, 3$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.7.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 3 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.8

执行行操作

R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ 使

1, 3

$1, 3$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 4.8.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ 使

1, 3

$1, 3$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 3 \cdot 0 & - 3 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & - 3 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.8.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.9

执行行操作

R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 4.9.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.9.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

a = 0

$a = 0$

b = 0

$b = 0$

c = 0

$c = 0$

解题步骤 6

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 000 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 7

写成解集。

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 000 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

解题步骤 8

S

$S$ 的核心是子空间

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 000 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ 。

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

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