示例

f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 4

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 4$

解题步骤 1

二次函数最小值出现在

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ 。如果

a

$a$ 是正数，则函数的最小值是

f (- \frac{b}{2 a})

$f (- \frac{b}{2 a})$ 。

f_{最小值}

$f_{最小值}$

x = a x^{2} + b x + c

$x = a x^{2} + b x + c$ 在

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ 出现

解题步骤 2

求

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ 的值。

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解题步骤 2.1

代入

a

$a$ 和

b

$b$ 的值。

x = - \frac{3}{2 (2)}

$x = - \frac{3}{2 (2)}$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

x = - \frac{3}{2 (2)}

$x = - \frac{3}{2 (2)}$

解题步骤 2.3

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

x = - \frac{3}{4}

$x = - \frac{3}{4}$

x = - \frac{3}{4}

$x = - \frac{3}{4}$

解题步骤 3

计算

f (- \frac{3}{4})

$f (- \frac{3}{4})$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的

- \frac{3}{4}

$- \frac{3}{4}$ 替换变量

x

$x$ 。

f (- \frac{3}{4}) = 2 {(- \frac{3}{4})}^{2} + 3 (- \frac{3}{4}) - 4

$f (- \frac{3}{4}) = 2 {(- \frac{3}{4})}^{2} + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用幂法则

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

对

- \frac{3}{4}

$- \frac{3}{4}$ 运用乘积法则。

f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4

$f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

解题步骤 3.2.1.1.2

对

\frac{3}{4}

$\frac{3}{4}$ 运用乘积法则。

f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4

$f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4

$f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

解题步骤 3.2.1.2

对

- 1

$- 1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

f (- \frac{3}{4}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

解题步骤 3.2.1.3

将

\frac{3^{2}}{4^{2}}

$\frac{3^{2}}{4^{2}}$ 乘以

1

$1$ 。

f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

解题步骤 3.2.1.4

对

3

$3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

解题步骤 3.2.1.5

对

4

$4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{16}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{16}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

解题步骤 3.2.1.6

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.6.1

从

16

$16$ 中分解出因数

2

$2$ 。

f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 (8)}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 (8)}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

解题步骤 3.2.1.6.2

约去公因数。

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 8}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

解题步骤 3.2.1.6.3

重写表达式。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

解题步骤 3.2.1.7

乘以

$3 (- \frac{3}{4})$ 。

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解题步骤 3.2.1.7.1

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - 3 (\frac{3}{4}) - 4$

解题步骤 3.2.1.7.2

组合

$- 3$ 和

$\frac{3}{4}$ 。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 3 \cdot 3}{4} - 4$

解题步骤 3.2.1.7.3

将

$- 3$ 乘以

$3$ 。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 9}{4} - 4$

解题步骤 3.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} - 4$

解题步骤 3.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.2.2.1

将

$\frac{9}{4}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - (\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

解题步骤 3.2.2.2

将

$\frac{9}{4}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 4$

解题步骤 3.2.2.3

将

$- 4$ 写成分母为

$1$ 的分数。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

解题步骤 3.2.2.4

将

$\frac{- 4}{1}$ 乘以

$\frac{8}{8}$ 。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 3.2.2.5

将

$\frac{- 4}{1}$ 乘以

$\frac{8}{8}$ 。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.2.6

重新排序

$4 \cdot 2$ 的因式。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.2.7

将

$2$ 乘以

$4$ 。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.1

将

$- 9$ 乘以

$2$ 。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 4 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.4.2

将

$- 4$ 乘以

$8$ 。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 32}{8}$

解题步骤 3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 3.2.5.1

从

$9$ 中减去

$18$ 。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 9 - 32}{8}$

解题步骤 3.2.5.2

从

$- 9$ 中减去

$32$ 。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 41}{8}$

解题步骤 3.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{41}{8}$

解题步骤 3.2.6

最终答案为

$- \frac{41}{8}$ 。

$- \frac{41}{8}$

解题步骤 4

使用

$x$ 和

$y$ 的值求最小值出现的位置。

$(- \frac{3}{4}, - \frac{41}{8})$

解题步骤 5

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