示例

y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$

解题步骤 1

将

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ 设为等于

0

$0$ 。

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0$

解题步骤 2

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

使用有理根检验法因式分解

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ 的形式，其中

p

$p$ 为常数的因数，而

q

$q$ 为首项系数的因数。

p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.1.2

求

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

解题步骤 2.1.1.3

代入

2

$2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于

0

$0$ ，所以

2

$2$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将

2

$2$ 代入多项式。

2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

解题步骤 2.1.1.3.2

对

2

$2$ 进行

3

$3$ 次方运算。

8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

解题步骤 2.1.1.3.3

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

解题步骤 2.1.1.3.4

将

- 4

$- 4$ 乘以

4

$4$ 。

8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

解题步骤 2.1.1.3.5

从

8

$8$ 中减去

16

$16$ 。

- 8 - 11 \cdot 2 + 30

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

解题步骤 2.1.1.3.6

将

- 11

$- 11$ 乘以

2

$2$ 。

- 8 - 22 + 30

$- 8 - 22 + 30$

解题步骤 2.1.1.3.7

从

- 8

$- 8$ 中减去

22

$22$ 。

- 30 + 30

$- 30 + 30$

解题步骤 2.1.1.3.8

将

- 30

$- 30$ 和

30

$30$ 相加。

0

$0$

0

$0$

解题步骤 2.1.1.4

因为

2

$2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以

x - 2

$x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

解题步骤 2.1.1.5

用

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ 除以

x - 2

$x - 2$ 。

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解题步骤 2.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带

0

$0$ 值的项。

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

11 x

$11 x$

30

$30$

解题步骤 2.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项

x^{3}

$x^{3}$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$

解题步骤 2.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

解题步骤 2.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项

- 2 x^{2}

$- 2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

解题步骤 2.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$

解题步骤 2.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

- 2 x^{2} + 4 x

$- 2 x^{2} + 4 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$

解题步骤 2.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$

解题步骤 2.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

解题步骤 2.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项

- 15 x

$- 15 x$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

解题步骤 2.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

解题步骤 2.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

- 15 x + 30

$- 15 x + 30$ 中的所有符号

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							+	$15 x$ $15 x$	-	$30$ $30$

解题步骤 2.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							+	$15 x$ $15 x$	-	$30$ $30$
										$0$ $0$

解题步骤 2.1.1.5.16

因为余数为

0

$0$ ，所以最终答案是商。

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$

解题步骤 2.1.1.6

将

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ 书写为因数的集合。

(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用 AC 法来对

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.2.1

使用 AC 法来对

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.2.1.1

思考一下

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

c

$c$ ，且和为

b

$b$ 。在本例中，其积即为

- 15

$- 15$ ，和为

- 2

$- 2$ 。

- 5, 3

$- 5, 3$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

去掉多余的括号。

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.3

将

x - 2

$x - 2$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将

x - 2

$x - 2$ 设为等于

0

$0$ 。

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上

2

$2$ 。

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

解题步骤 2.4

将

x - 5

$x - 5$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将

x - 5

$x - 5$ 设为等于

0

$0$ 。

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上

5

$5$ 。

x = 5

$x = 5$

x = 5

$x = 5$

解题步骤 2.5

将

x + 3

$x + 3$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将

x + 3

$x + 3$ 设为等于

0

$0$ 。

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去

3

$3$ 。

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

解题步骤 2.6

最终解为使

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。根的重数为根出现的次数。

x = 2

$x = 2$ (

1

$1$ 的倍数)

x = 5

$x = 5$ (

1

$1$ 的倍数)

x = - 3

$x = - 3$ (

1

$1$ 的倍数)

x = 2

$x = 2$ (

1

$1$ 的倍数)

x = 5

$x = 5$ (

1

$1$ 的倍数)

x = - 3

$x = - 3$ (

1

$1$ 的倍数)

解题步骤 3

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