示例

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ ,

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$

解题步骤 1

要求经过点

(p, q, r)

$(p, q, r)$ 且垂直于平面

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ 和平面

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ 直线的交点：

1. 求平面

P_{1}

$P_{1}$ 和平面

P_{2}

$P_{2}$ 的法向量

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 和

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。检验其点积是否为 0。

2. 创建一个参数方程组，比如

x = p + a t

$x = p + a t$ 、

y = q + b t

$y = q + b t$ 和

z = r + c t

$z = r + c t$ 。

3. 将这些等式代入平面方程

P_{2}

$P_{2}$ ，使得

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ 并求解

t

$t$ 。

4. 使用

t

$t$ 的值，求解参数方程

x = p + a t

$x = p + a t$ 、

y = q + b t

$y = q + b t$ 和

z = r + c t

$z = r + c t$ ，以求

t

$t$ 的交集

(x, y, z)

$(x, y, z)$ 。

解题步骤 2

求每一平面的法向量并通过计算点积来判断它们是否垂直。

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解题步骤 2.1

P_{1}

$P_{1}$ 为

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ 。求平面方程

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ 的法向量

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 。

n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

解题步骤 2.2

P_{2}

$P_{2}$ 为

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$ 。求平面方程

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ 的法向量

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。

n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩$

解题步骤 2.3

将法向量中相对应的

x

$x$ 、

y

$y$ 和

z

$z$ 数值乘积相加，计算

n_{1}

$n_{1}$ 和

n_{2}

$n_{2}$ 的点积。

3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

解题步骤 2.4

化简点积。

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解题步骤 2.4.1

去掉圆括号。

3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

解题步骤 2.4.2

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1

将

3

$3$ 乘以

1

$1$ 。

3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

解题步骤 2.4.2.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 2

$- 2$ 。

3 + 2 + 0 \cdot 0

$3 + 2 + 0 \cdot 0$

解题步骤 2.4.2.3

将

0

$0$ 乘以

0

$0$ 。

3 + 2 + 0

$3 + 2 + 0$

3 + 2 + 0

$3 + 2 + 0$

解题步骤 2.4.3

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.4.3.1

将

3

$3$ 和

2

$2$ 相加。

5 + 0

$5 + 0$

解题步骤 2.4.3.2

将

5

$5$ 和

0

$0$ 相加。

5

$5$

5

$5$

5

$5$

5

$5$

解题步骤 3

下一步，使用点

(p, q, r)

$(p, q, r)$ 的原点

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ 和标准向量

5

$5$ 的

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值，建立一组参数方程

x = p + a t

$x = p + a t$ 、

y = q + b t

$y = q + b t$ 和

z = r + c t

$z = r + c t$ 。这组参数方程表示经过原点并与

P_{1}

$P_{1}$

3 x - y = - 4

$3 x - y = - 4$ 垂直的直线。

x = 0 + 3 \cdot t

$x = 0 + 3 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

解题步骤 4

将表达式

x

$x$ 、

y

$y$ 和

z

$z$ 代入

P_{2}

$P_{2}$

x - 2 y = - 3

$x - 2 y = - 3$ 的方程。

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

解题步骤 5

求解

t

$t$ 的方程。

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解题步骤 5.1

化简

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ 。

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解题步骤 5.1.1

合并

(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.1.1

将

0

$0$ 和

3 \cdot t

$3 \cdot t$ 相加。

3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

解题步骤 5.1.1.2

从

0

$0$ 中减去

1 \cdot t

$1 \cdot t$ 。

3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

解题步骤 5.1.2

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.1

将

- 1 t

$- 1 t$ 重写为

- t

$- t$ 。

3 t - 2 (- t) = - 3

$3 t - 2 (- t) = - 3$

解题步骤 5.1.2.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 2

$- 2$ 。

3 t + 2 t = - 3

$3 t + 2 t = - 3$

解题步骤 5.1.3

将

$3 t$ 和

$2 t$ 相加。

$5 t = - 3$

解题步骤 5.2

将

$5 t = - 3$ 中的每一项除以

$5$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将

$5 t = - 3$ 中的每一项都除以

$5$ 。

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去

$5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用

$t$ 除以

$1$ 。

$t = \frac{- 3}{5}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$t = - \frac{3}{5}$

解题步骤 6

使用

$t$ 的值求解

$x$ 、

$y$ 和

$z$ 的参数方程。

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解题步骤 6.1

求解

$x$ 的方程。

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解题步骤 6.1.1

去掉圆括号。

$x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

解题步骤 6.1.2

去掉圆括号。

$x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$

解题步骤 6.1.3

化简

$0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.3.1.1

乘以

$3 (- \frac{3}{5})$ 。

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解题步骤 6.1.3.1.1.1

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$x = 0 - 3 (\frac{3}{5})$

解题步骤 6.1.3.1.1.2

组合

$- 3$ 和

$\frac{3}{5}$ 。

$x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}$

解题步骤 6.1.3.1.1.3

将

$- 3$ 乘以

$3$ 。

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

解题步骤 6.1.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$x = 0 - \frac{9}{5}$

解题步骤 6.1.3.2

从

$0$ 中减去

$\frac{9}{5}$ 。

$x = - \frac{9}{5}$

解题步骤 6.2

求解

$y$ 的方程。

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解题步骤 6.2.1

去掉圆括号。

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

解题步骤 6.2.2

去掉圆括号。

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$

解题步骤 6.2.3

化简

$0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

乘以

$- 1 (- \frac{3}{5})$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$y = 0 + 1 (\frac{3}{5})$

解题步骤 6.2.3.1.2

将

$\frac{3}{5}$ 乘以

$1$ 。

$y = 0 + \frac{3}{5}$

解题步骤 6.2.3.2

将

$0$ 和

$\frac{3}{5}$ 相加。

$y = \frac{3}{5}$

解题步骤 6.3

求解

$z$ 的方程。

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解题步骤 6.3.1

去掉圆括号。

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

解题步骤 6.3.2

去掉圆括号。

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$

解题步骤 6.3.3

化简

$0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

乘以

$0 (- \frac{3}{5})$ 。

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解题步骤 6.3.3.1.1

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$z = 0 + 0 (\frac{3}{5})$

解题步骤 6.3.3.1.2

将

$0$ 乘以

$\frac{3}{5}$ 。

$z = 0 + 0$

解题步骤 6.3.3.2

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$z = 0$

解题步骤 6.4

所求得的

$x$ 、

$y$ 和

$z$ 的参数方程。

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

解题步骤 7

使用对

$x$ 、

$y$ 和

$z$ 计算所得的值，求得的交点为

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ 。

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$

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