线性代数示例

a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ ,

b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]

$b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1

求点积。

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解题步骤 1.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

将

1

$1$ 乘以

1

$1$ 。

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

解题步骤 1.2.1.2

将

0

$0$ 乘以

1

$1$ 。

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

解题步骤 1.2.1.3

将

3

$3$ 乘以

1

$1$ 。

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

解题步骤 1.2.2

将

1

$1$ 和

0

$0$ 相加。

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

解题步骤 1.2.3

将

1

$1$ 和

3

$3$ 相加。

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

解题步骤 2

求

a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

$a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ 的范数。

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解题步骤 2.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

一的任意次幂都为一。

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

解题步骤 2.2.2

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

解题步骤 2.2.3

对

3

$3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

解题步骤 2.2.4

将

1

$1$ 和

0

$0$ 相加。

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

解题步骤 2.2.5

将

1

$1$ 和

9

$9$ 相加。

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

解题步骤 3

用投影线公式求

b⃗

$b⃗$ 在

a⃗

$a⃗$ 上的投影线。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

解题步骤 4

代入

4

$4$ 替换

b⃗ \cdot a⃗

$b⃗ \cdot a⃗$ 。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

解题步骤 5

代入

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ 替换

| | a⃗ | |

$| | a⃗ | |$ 。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

解题步骤 6

代入

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ 替换

a⃗

$a⃗$ 。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

将

{\sqrt{10}}^{2}

${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为

10

$10$ 。

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解题步骤 7.1.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ 重写成

10^{\frac{1}{2}}

$10^{\frac{1}{2}}$ 。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.1

约去公因数。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.4.2

重写表达式。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.5

计算指数。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.2

约去

4

$4$ 和

10

$10$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从

4

$4$ 中分解出因数

2

$2$ 。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从

10

$10$ 中分解出因数

2

$2$ 。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.3

将

\frac{2}{5}

$\frac{2}{5}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

解题步骤 7.4

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 7.4.1

将

\frac{2}{5}

$\frac{2}{5}$ 乘以

1

$1$ 。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

解题步骤 7.4.2

将

\frac{2}{5}

$\frac{2}{5}$ 乘以

0

$0$ 。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

解题步骤 7.4.3

乘以

\frac{2}{5} \cdot 3

$\frac{2}{5} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.4.3.1

组合

\frac{2}{5}

$\frac{2}{5}$ 和

3

$3$ 。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

解题步骤 7.4.3.2

将

2

$2$ 乘以

3

$3$ 。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

{proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

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