线性代数示例

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1

求点积。

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解题步骤 1.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

解题步骤 1.2.2

将 $2$ 和 $6$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

解题步骤 1.2.3

将 $8$ 和 $2$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

解题步骤 2

求 $b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ 的范数。

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解题步骤 2.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

一的任意次幂都为一。

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

解题步骤 2.2.3

一的任意次幂都为一。

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

解题步骤 2.2.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

解题步骤 2.2.5

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

解题步骤 3

用投影线公式求 $a⃗$ 在 $b⃗$ 上的投影线。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

解题步骤 4

代入 $10$ 替换 $a⃗ \cdot b⃗$ 。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

解题步骤 5

代入 $\sqrt{6}$ 替换 $| | b⃗ | |$ 。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

解题步骤 6

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ 替换 $b⃗$ 。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 7.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 7.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 7.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 7.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.1

约去公因数。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 7.1.4.2

重写表达式。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 7.1.5

计算指数。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 7.2

约去 $10$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 7.3

将 $\frac{5}{3}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 7.4

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{5}{3}$ 乘以 $1$ 。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 7.4.2

乘以 $\frac{5}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $2$ 。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 7.4.2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 7.4.3

将 $\frac{5}{3}$ 乘以 $1$ 。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

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