线性代数示例

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ ,

$b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1

求点积。

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解题步骤 1.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

将

$1$ 乘以

$1$ 。

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

解题步骤 1.2.1.2

将

$0$ 乘以

$1$ 。

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

解题步骤 1.2.1.3

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

解题步骤 1.2.2

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

解题步骤 1.2.3

将

$1$ 和

$3$ 相加。

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

解题步骤 2

求

$a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ 的范数。

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解题步骤 2.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

一的任意次幂都为一。

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

解题步骤 2.2.2

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

解题步骤 2.2.3

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

解题步骤 2.2.4

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

解题步骤 2.2.5

将

$1$ 和

$9$ 相加。

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

解题步骤 3

用投影线公式求

$b⃗$ 在

$a⃗$ 上的投影线。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

解题步骤 4

代入

$4$ 替换

$b⃗ \cdot a⃗$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

解题步骤 5

代入

$\sqrt{10}$ 替换

$| | a⃗ | |$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

解题步骤 6

代入

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ 替换

$a⃗$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

将

${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为

$10$ 。

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解题步骤 7.1.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{10}$ 重写成

$10^{\frac{1}{2}}$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.1

约去公因数。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.4.2

重写表达式。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.5

计算指数。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.2

约去

$4$ 和

$10$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从

$4$ 中分解出因数

$2$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从

$10$ 中分解出因数

$2$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.3

将

$\frac{2}{5}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

解题步骤 7.4

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 7.4.1

将

$\frac{2}{5}$ 乘以

$1$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

解题步骤 7.4.2

将

$\frac{2}{5}$ 乘以

$0$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

解题步骤 7.4.3

乘以

$\frac{2}{5} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.4.3.1

组合

$\frac{2}{5}$ 和

$3$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

解题步骤 7.4.3.2

将

$2$ 乘以

$3$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

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