线性代数示例

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1

求点积。

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解题步骤 1.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

解题步骤 1.2.1.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

解题步骤 1.2.1.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

解题步骤 1.2.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

解题步骤 2

求 $a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ 的范数。

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解题步骤 2.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

一的任意次幂都为一。

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

解题步骤 2.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

解题步骤 2.2.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

解题步骤 2.2.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

解题步骤 2.2.5

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

解题步骤 3

用投影线公式求 $b⃗$ 在 $a⃗$ 上的投影线。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

解题步骤 4

代入 $4$ 替换 $b⃗ \cdot a⃗$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

解题步骤 5

代入 $\sqrt{10}$ 替换 $| | a⃗ | |$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

解题步骤 6

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ 替换 $a⃗$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 7.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.1

约去公因数。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.4.2

重写表达式。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.1.5

计算指数。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.2

约去 $4$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 7.3

将 $\frac{2}{5}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

解题步骤 7.4

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $1$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

解题步骤 7.4.2

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $0$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

解题步骤 7.4.3

乘以 $\frac{2}{5} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.4.3.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $3$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

解题步骤 7.4.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

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