线性代数示例

S = {[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \end{array}]}

$S = {[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \end{array}]}$

解题步骤 1

ℝ^{n}

$ℝ^{n}$ 中的向量

u⃗

$u⃗$ 和

v⃗

$v⃗$ 之间的距离被定义为

| | u⃗ - v⃗ | |

$| | u⃗ - v⃗ | |$ ，它是差值

u⃗ - v⃗

$u⃗ - v⃗$ 的欧几里得范数。

d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{({u⃗}_{1} - {v⃗}_{1})}^{2} + {({u⃗}_{2} - {v⃗}_{2})}^{2} + \dots + {({u⃗}_{n} - {v⃗}_{n})}^{2}}

$d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{({u⃗}_{1} - {v⃗}_{1})}^{2} + {({u⃗}_{2} - {v⃗}_{2})}^{2} + \dots + {({u⃗}_{n} - {v⃗}_{n})}^{2}}$

解题步骤 2

求差值

u⃗ - v⃗

$u⃗ - v⃗$ 的范数，其中

u⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \end{array}]

$u⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \end{array}]$ 和

v⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \end{array}]

$v⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \end{array}]$ 。

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解题步骤 2.1

创建差值的向量。

[\begin{array}{c} 1 - 1 \\ 0 - 1 \\ 2 + 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - 1 \\ 0 - 1 \\ 2 + 1 \end{array}]$

解题步骤 2.2

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

\sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {(2 + 1)}^{2}}

$\sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {(2 + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

从

1

$1$ 中减去

1

$1$ 。

\sqrt{0^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {(2 + 1)}^{2}}

$\sqrt{0^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {(2 + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

\sqrt{0 + {(0 - 1)}^{2} + {(2 + 1)}^{2}}

$\sqrt{0 + {(0 - 1)}^{2} + {(2 + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

从

0

$0$ 中减去

1

$1$ 。

\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} + {(2 + 1)}^{2}}

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} + {(2 + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

对

- 1

$- 1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{0 + 1 + {(2 + 1)}^{2}}

$\sqrt{0 + 1 + {(2 + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5

将

2

$2$ 和

1

$1$ 相加。

\sqrt{0 + 1 + 3^{2}}

$\sqrt{0 + 1 + 3^{2}}$

解题步骤 2.3.6

对

3

$3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{0 + 1 + 9}

$\sqrt{0 + 1 + 9}$

解题步骤 2.3.7

将

0

$0$ 和

1

$1$ 相加。

\sqrt{1 + 9}

$\sqrt{1 + 9}$

解题步骤 2.3.8

将

1

$1$ 和

9

$9$ 相加。

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$

小数形式：

3.16227766 \dots

$3.16227766 \dots$

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