线性代数示例

[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]$

解题步骤 1

向量

a⃗

$a⃗$ 和

b⃗

$b⃗$ 的交叉乘积可以写成包含

ℝ^{3}

$ℝ^{3}$ 中标准单位向量以及给定向量的元素的行列式。

a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

解题步骤 2

用给定值设置行列式。

| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 7 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 7 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} |$

解题步骤 3

选择包含最多

0

$0$ 元素的行或列。如果没有

0

$0$ 元素，选择任何一行或一列。将第

1

$1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 3.1

考虑相应的符号表。

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 3.2

代数余子式是指在索引与符号图上的

-

$-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 3.3

a_{11}

$a_{11}$ 的子式是已删除了行

1

$1$ 和列

1

$1$ 的行列式。

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$

解题步骤 3.4

将元素

a_{11}

$a_{11}$ 乘以其代数余子式。

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î$

解题步骤 3.5

a_{12}

$a_{12}$ 的子式是已删除了行

1

$1$ 和列

2

$2$ 的行列式。

| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$

解题步骤 3.6

将元素

a_{12}

$a_{12}$ 乘以其代数余子式。

- | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ

$- | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ$

解题步骤 3.7

a_{13}

$a_{13}$ 的子式是已删除了行

1

$1$ 和列

3

$3$ 的行列式。

| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$

解题步骤 3.8

将元素

a_{13}

$a_{13}$ 乘以其代数余子式。

| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 3.9

最后把这些项加起来。

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 4

计算

| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 4.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将

- 7

$- 7$ 乘以

4

$4$ 。

(- 28 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$(- 28 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 4.2.1.2

将

- 2

$- 2$ 乘以

1

$1$ 。

(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 4.2.2

从

- 28

$- 28$ 中减去

2

$2$ 。

- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 5

计算

| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.1

可以使用公式

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 5.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将

4

$4$ 乘以

1

$1$ 。

- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 5.2.1.2

将

- 5

$- 5$ 乘以

1

$1$ 。

- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 5.2.2

从

4

$4$ 中减去

5

$5$ 。

- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 6

计算

| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.1

可以使用公式

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂$

解题步骤 6.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂$

解题步骤 6.2.1.2

将

- 5

$- 5$ 乘以

- 7

$- 7$ 。

- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂$

解题步骤 6.2.2

将

2

$2$ 和

35

$35$ 相加。

- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

解题步骤 7

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

- 30 î + 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î + 1 ĵ + 37 k̂$

解题步骤 8

重写解答。

[\begin{array}{c} - 30 \\ 1 \\ 37 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 30 \\ 1 \\ 37 \end{array}]$

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