线性代数示例

$(1, - 2)$ , $(- 2, 1)$

解题步骤 1

用点积公式求两个向量的夹角。

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

求点积。

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解题步骤 2.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

解题步骤 2.2.2

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

一的任意次幂都为一。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

解题步骤 3.2.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

解题步骤 4.2.2

一的任意次幂都为一。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

解题步骤 4.2.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

解题步骤 6.1.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

解题步骤 6.2

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.2.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{1}})$

解题步骤 6.2.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5})$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$θ = \arccos (- \frac{4}{5})$

解题步骤 6.4

计算 $\arccos (- \frac{4}{5})$ 。

$θ = 143.13010235$

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