线性代数示例

$(1, - 1, 2)$ , $(0, 3, 1)$

解题步骤 1

用交叉乘积公式求两个向量的夹角。

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

求交叉乘积。

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解题步骤 2.1

向量 $a⃗$ 和 $b⃗$ 的交叉乘积可以写成包含 $ℝ^{3}$ 中标准单位向量以及给定向量的元素的行列式。

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

解题步骤 2.2

用给定值设置行列式。

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.3

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 2.3.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 2.3.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.3.4

将元素 $a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

解题步骤 2.3.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.3.6

将元素 $a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

解题步骤 2.3.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.3.8

将元素 $a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.3.9

最后把这些项加起来。

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.4

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.4.2.2

从 $- 1$ 中减去 $6$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.5

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.5.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.5.2.1.2

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.5.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.6

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.6.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

解题步骤 2.6.2

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

解题步骤 2.6.2.1.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

解题步骤 2.6.2.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

解题步骤 2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

解题步骤 2.8

重写解答。

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

解题步骤 3

求交叉乘积的大小。

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解题步骤 3.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

解题步骤 3.2.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

解题步骤 3.2.4

将 $49$ 和 $1$ 相加。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

解题步骤 3.2.5

将 $50$ 和 $9$ 相加。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

解题步骤 4

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

一的任意次幂都为一。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

解题步骤 4.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

解题步骤 4.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

解题步骤 4.2.5

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

解题步骤 5

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 5.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 5.2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

解题步骤 5.2.3

一的任意次幂都为一。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

解题步骤 5.2.4

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

解题步骤 5.2.5

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

解题步骤 6

将值代入公式中。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分母。

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解题步骤 7.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

解题步骤 7.1.2

将 $6$ 乘以 $10$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

将 $60$ 重写为 $2^{2} \cdot 15$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

从 $60$ 中分解出因数 $4$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

解题步骤 7.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

解题步骤 7.2.2

从根式下提出各项。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

解题步骤 7.3

将 $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

解题步骤 7.4

合并和化简分母。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

解题步骤 7.4.2

移动 $\sqrt{15}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

解题步骤 7.4.3

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

解题步骤 7.4.4

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

解题步骤 7.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

解题步骤 7.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

解题步骤 7.4.7

将 ${\sqrt{15}}^{2}$ 重写为 $15$ 。

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解题步骤 7.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{15}$ 重写成 $15^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 7.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 7.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 7.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.7.4.1

约去公因数。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 7.4.7.4.2

重写表达式。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

解题步骤 7.4.7.5

计算指数。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

解题步骤 7.5

化简分子。

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解题步骤 7.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

解题步骤 7.5.2

将 $59$ 乘以 $15$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

解题步骤 7.6

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

解题步骤 7.7

计算 $\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ 。

$θ = 82.5824442$

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