线性代数示例

$(1, 1, 1)$ , $(0, 1, 1)$ , $(0, 0, 1)$

解题步骤 1

为每个向量命名。

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

解题步骤 2

第一个正交向量是给定向量集合中的第一个向量。

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

解题步骤 3

用公式求其他正交向量。

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

解题步骤 4

求正交向量 ${v⃗}_{2}$ 。

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解题步骤 4.1

用公式求 ${v⃗}_{2}$ 。

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

解题步骤 4.2

代入 $(0, 1, 1)$ 替换 ${u⃗}_{2}$ 。

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

解题步骤 4.3

求 ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ 。

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解题步骤 4.3.1

求点积。

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解题步骤 4.3.1.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.2

化简。

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解题步骤 4.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.2.1.1

将 $0$ 乘以 $1$ 。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.2.1.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.2.1.3

将 $1$ 乘以 $1$ 。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

解题步骤 4.3.1.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

解题步骤 4.3.2

求 ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ 的范数。

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解题步骤 4.3.2.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2.2

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

解题步骤 4.3.2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

解题步骤 4.3.2.2.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

解题步骤 4.3.3

用投影线公式求 ${u⃗}_{2}$ 在 ${v⃗}_{1}$ 上的投影线。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 4.3.4

代入 $2$ 替换 ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 4.3.5

代入 $\sqrt{3}$ 替换 $| | {v⃗}_{1} | |$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 4.3.6

代入 $(1, 1, 1)$ 替换 ${v⃗}_{1}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7

化简右边。

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解题步骤 4.3.7.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.3.7.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.1.4.1

约去公因数。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.4.2

重写表达式。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.5

计算指数。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.7.3

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.3.7.3.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.7.3.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.7.3.3

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

解题步骤 4.4

代入投影线。

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

合并矢量的每一个分量。

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.2

从 $0$ 中减去 $\frac{2}{3}$ 。

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.4

在公分母上合并分子。

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.5

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 4.5.7

在公分母上合并分子。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

解题步骤 4.5.8

从 $3$ 中减去 $2$ 。

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5

求正交向量 ${v⃗}_{3}$ 。

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解题步骤 5.1

用公式求 ${v⃗}_{3}$ 。

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

解题步骤 5.2

代入 $(0, 0, 1)$ 替换 ${u⃗}_{3}$ 。

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

解题步骤 5.3

求 ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ 。

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解题步骤 5.3.1

求点积。

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解题步骤 5.3.1.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.2

化简。

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解题步骤 5.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.2.1.1

将 $0$ 乘以 $1$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.2.1.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.2.1.3

将 $1$ 乘以 $1$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

解题步骤 5.3.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

解题步骤 5.3.1.2.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

解题步骤 5.3.2

求 ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ 的范数。

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解题步骤 5.3.2.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

化简。

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解题步骤 5.3.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2.2

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

解题步骤 5.3.2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

解题步骤 5.3.2.2.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

解题步骤 5.3.3

用投影线公式求 ${u⃗}_{3}$ 在 ${v⃗}_{1}$ 上的投影线。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 5.3.4

代入 $1$ 替换 ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 5.3.5

代入 $\sqrt{3}$ 替换 $| | {v⃗}_{1} | |$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 5.3.6

代入 $(1, 1, 1)$ 替换 ${v⃗}_{1}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7

化简右边。

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解题步骤 5.3.7.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.3.7.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1.4.1

约去公因数。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7.1.4.2

重写表达式。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7.1.5

计算指数。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 5.3.7.3

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 5.3.7.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 5.3.7.3.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 5.3.7.3.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4

求 ${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ 。

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解题步骤 5.4.1

求点积。

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解题步骤 5.4.1.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.1.2

化简。

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解题步骤 5.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.2.1.1

乘以 $0 (- \frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.1.2.1.1.2

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.1.2.1.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.1.2.1.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

解题步骤 5.4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

解题步骤 5.4.1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{1}{3}$ 相加。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.4.2

求 ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 的范数。

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解题步骤 5.4.2.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2

化简。

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解题步骤 5.4.2.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.4.2.2.1.1

对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.1.2

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.3

将 $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.6

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.7

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.9

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 5.4.2.2.10

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

解题步骤 5.4.2.2.11

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 5.4.2.2.12

在公分母上合并分子。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 5.4.2.2.13

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 5.4.2.2.14

在公分母上合并分子。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

解题步骤 5.4.2.2.15

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

解题步骤 5.4.2.2.16

约去 $6$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.16.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

解题步骤 5.4.2.2.16.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.16.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 5.4.2.2.16.2.2

约去公因数。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 5.4.2.2.16.2.3

重写表达式。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.17

将 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.18

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.19

合并和化简分母。

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解题步骤 5.4.2.2.19.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.19.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.19.6.4.1

约去公因数。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.6.4.2

重写表达式。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.6.5

计算指数。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.4.2.2.20

化简分子。

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解题步骤 5.4.2.2.20.1

使用根数乘积法则进行合并。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 5.4.2.2.20.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 5.4.3

用投影线公式求 ${u⃗}_{3}$ 在 ${v⃗}_{2}$ 上的投影线。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

解题步骤 5.4.4

代入 $\frac{1}{3}$ 替换 ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

解题步骤 5.4.5

代入 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 替换 $| | {v⃗}_{2} | |$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

解题步骤 5.4.6

代入 $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 替换 ${v⃗}_{2}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7

化简右边。

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解题步骤 5.4.7.1

化简分母。

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解题步骤 5.4.7.1.1

对 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 运用乘积法则。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.2

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 5.4.7.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.7.1.2.4.1

约去公因数。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.2.4.2

重写表达式。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.2.5

计算指数。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.4

约去 $6$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.7.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.7.1.4.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.4.2.2

约去公因数。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.4.2.3

重写表达式。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.2

将分子乘以分母的倒数。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.7.3.1

约去公因数。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.3.2

重写表达式。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 5.4.7.5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.7.5.1.1

将 $- \frac{2}{3}$ 中前置负号移到分子中。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.1.3

约去公因数。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.1.4

重写表达式。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.2

将负号移到分数的前面。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.3

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 5.4.7.5.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.4

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 5.4.7.5.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

解题步骤 5.4.7.5.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

解题步骤 5.5

代入投影线。

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

解题步骤 5.6

化简。

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解题步骤 5.6.1

合并矢量的每一个分量。

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

解题步骤 5.6.2

合并矢量的每一个分量。

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.3

乘以 $- (- \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 5.6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.3.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.4

合并分数。

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解题步骤 5.6.4.1

在公分母上合并分子。

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.4.2

化简表达式。

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解题步骤 5.6.4.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.4.2.2

用 $0$ 除以 $3$ 。

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.5

将 $- 1$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.6

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{3}$ 。

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.7

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 5.6.8.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.8.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.9

化简表达式。

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解题步骤 5.6.9.1

在公分母上合并分子。

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.9.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.10

约去 $- 3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.10.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.10.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.10.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.10.2.2

约去公因数。

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.10.2.3

重写表达式。

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.11

将负号移到分数的前面。

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12

求公分母。

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解题步骤 5.6.12.1

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12.2

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12.3

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12.4

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12.5

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12.6

重新排序 $3 \cdot 2$ 的因式。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.13

在公分母上合并分子。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

解题步骤 5.6.14

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 5.6.14.1

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

解题步骤 5.6.14.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

解题步骤 5.6.15

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.15.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

解题步骤 5.6.15.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.15.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

解题步骤 5.6.15.2.2

约去公因数。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

解题步骤 5.6.15.2.3

重写表达式。

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

解题步骤 6

通过将每个正交向量除以其范数来求标准正交底数。

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

解题步骤 7

求单位向量 $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ ，其中 ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ 。

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解题步骤 7.1

要求出与向量 $v⃗$ 方向相同的单位向量，请除以范数 $v⃗$ 。

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

解题步骤 7.2

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 7.3.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

解题步骤 7.3.3

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

解题步骤 7.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{2 + 1}$

解题步骤 7.3.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{3}$

解题步骤 7.4

将向量除以其范数。

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7.5

将向量中的每个元素除以 $\sqrt{3}$ 。

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

解题步骤 8

求单位向量 $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ ，其中 ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 8.1

要求出与向量 $v⃗$ 方向相同的单位向量，请除以范数 $v⃗$ 。

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

解题步骤 8.2

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.3

将 $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.6

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.7

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.9

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 8.3.10

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

解题步骤 8.3.11

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 8.3.12

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 8.3.13

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 8.3.14

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

解题步骤 8.3.15

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

解题步骤 8.3.16

约去 $6$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.16.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

解题步骤 8.3.16.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.16.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 8.3.16.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 8.3.16.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.3.17

将 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.4

将向量除以其范数。

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 8.5

将向量中的每个元素除以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 。

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6

化简。

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解题步骤 8.6.1

将分子乘以分母的倒数。

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6.3

将 $2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6.4

将 $3$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6.5

将分子乘以分母的倒数。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6.6

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6.7

将分子乘以分母的倒数。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 8.6.8

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

解题步骤 9

求单位向量 $\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ ，其中 ${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 9.1

要求出与向量 $v⃗$ 方向相同的单位向量，请除以范数 $v⃗$ 。

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

解题步骤 9.2

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 9.3.2.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.2.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.4

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.5

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.7

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.3.8

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

解题步骤 9.3.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

解题步骤 9.3.10

将 $0$ 和 $\frac{1}{4}$ 相加。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

解题步骤 9.3.11

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

解题步骤 9.3.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

解题步骤 9.3.13

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.13.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 9.3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.13.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.13.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.13.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 9.3.14

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.15

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.4

将向量除以其范数。

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

解题步骤 9.5

将向量中的每个元素除以 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 。

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

解题步骤 9.6

化简。

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解题步骤 9.6.1

将分子乘以分母的倒数。

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

解题步骤 9.6.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt{2}$ 。

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

解题步骤 9.6.3

将分子乘以分母的倒数。

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

解题步骤 9.6.4

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

解题步骤 9.6.5

将分子乘以分母的倒数。

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

解题步骤 9.6.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 10

代入已知值。

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

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