线性代数示例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 1

如果两个向量的点积是

0

$0$ ，这些向量是正交的。

解题步骤 2

计算

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ 和

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ 的点积。

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解题步骤 2.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将

1

$1$ 乘以

1

$1$ 。

1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.2.1.2

将

0

$0$ 乘以

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ 。

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.2.1.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

解题步骤 2.2.2

将

1

$1$ 和

0

$0$ 相加。

1 - 1

$1 - 1$

解题步骤 2.2.3

从

1

$1$ 中减去

1

$1$ 。

0

$0$

0

$0$

0

$0$

解题步骤 3

计算

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ 和

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ 的点积。

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解题步骤 3.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将

1

$1$ 乘以

1

$1$ 。

1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1

$1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.2

乘以

0 (- \sqrt{2})

$0 (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

0

$0$ 。

1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.2.2

将

0

$0$ 乘以

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ 。

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

解题步骤 3.2.2

将

1

$1$ 和

0

$0$ 相加。

1 - 1

$1 - 1$

解题步骤 3.2.3

从

1

$1$ 中减去

1

$1$ 。

0

$0$

0

$0$

0

$0$

解题步骤 4

计算

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ 和

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ 的点积。

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解题步骤 4.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将

1

$1$ 乘以

1

$1$ 。

1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1

$1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.2

乘以

\sqrt{2} (- \sqrt{2})

$\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1

对

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.2.2

对

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.2.3

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.2.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.3

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.3.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.3.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.3.4.1

约去公因数。

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.3.4.2

重写表达式。

$1 - 2^{1} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.3.5

计算指数。

$1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.4

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$1 - 2 + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.5

将

$1$ 乘以

$1$ 。

$1 - 2 + 1$

解题步骤 4.2.2

从

$1$ 中减去

$2$ 。

$- 1 + 1$

解题步骤 4.2.3

将

$- 1$ 和

$1$ 相加。

$0$

解题步骤 5

向量为正交，因为所有点积均为

$0$ 。

正交

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