线性代数示例

x - 7 y = - 35

$x - 7 y = - 35$ ,

3 x - 4 y = - 5

$3 x - 4 y = - 5$

解题步骤 1

以矩阵形式书写方程组。

[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 3 & - 4 & - 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 3 & - 4 & - 5 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 2.1.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 4 - 3 \cdot - 7 & - 5 - 3 \cdot - 35 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 4 - 3 \cdot - 7 & - 5 - 3 \cdot - 35 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 17 & 100 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 17 & 100 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 17 & 100 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 17 & 100 \end{array}]$

解题步骤 2.2

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{17}

$\frac{1}{17}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 2.2.1

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{17}

$\frac{1}{17}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ \frac{0}{17} & \frac{17}{17} & \frac{100}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ \frac{0}{17} & \frac{17}{17} & \frac{100}{17} \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

解题步骤 2.3

执行行操作

R_{1} = R_{1} + 7 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 7 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 2.3.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} + 7 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 7 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & - 35 + 7 (\frac{100}{17}) \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & - 35 + 7 (\frac{100}{17}) \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{105}{17} \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{105}{17} \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{105}{17} \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{105}{17} \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{105}{17} \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{105}{17} \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

x = \frac{105}{17}

$x = \frac{105}{17}$

y = \frac{100}{17}

$y = \frac{100}{17}$

解题步骤 4

解为使方程组成立的有序对集合。

(\frac{105}{17}, \frac{100}{17})

$(\frac{105}{17}, \frac{100}{17})$

解题步骤 5

通过重新安排增广矩阵的行简化式中的每一个方程对解向量进行分解，而简化式是通过求解每一行中的因变量得出。

X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{105}{17} \\ \frac{100}{17} \end{array}]

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{105}{17} \\ \frac{100}{17} \end{array}]$

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