线性代数示例

$S = {[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \\ 5 \\ 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \\ 6 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 1

写成

$A x = 0$ 的增广矩阵。

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

将

$R_{1}$ 的每个元素乘以

$\frac{1}{2}$ ，使

$1, 1$ 的项为

$1$ 。

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解题步骤 2.1.1

将

$R_{1}$ 的每个元素乘以

$\frac{1}{2}$ ，使

$1, 1$ 的项为

$1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ 使

$2, 1$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ 使

$2, 1$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + \frac{1}{2} & 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 3 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.3

执行行操作

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ 使

$3, 1$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.3.1

执行行操作

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ 使

$3, 1$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 (\frac{1}{2}) & - 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.4

执行行操作

$R_{4} = R_{4} - R_{1}$ 使

$4, 1$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.4.1

执行行操作

$R_{4} = R_{4} - R_{1}$ 使

$4, 1$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 1 - 1 & 5 - \frac{1}{2} & 6 - 1 & 0 - 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简

$R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.5

执行行操作

$R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ 使

$5, 1$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.5.1

执行行操作

$R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ 使

$5, 1$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 (\frac{1}{2}) & 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 2.5.2

化简

$R_{5}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.6

将

$R_{2}$ 的每个元素乘以

$\frac{2}{5}$ ，使

$2, 2$ 的项为

$1$ 。

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解题步骤 2.6.1

将

$R_{2}$ 的每个元素乘以

$\frac{2}{5}$ ，使

$2, 2$ 的项为

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} \cdot 2 & \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.6.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & - 6 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.7

执行行操作

$R_{3} = R_{3} + \frac{5}{2} R_{2}$ 使

$3, 2$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.7.1

执行行操作

$R_{3} = R_{3} + \frac{5}{2} R_{2}$ 使

$3, 2$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 & - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot 1 & - 6 + \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5} & 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.7.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.8

执行行操作

$R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ 使

$4, 2$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.8.1

执行行操作

$R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ 使

$4, 2$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 & \frac{9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1 & 5 - \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{5} & 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.8.2

化简

$R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.9

执行行操作

$R_{5} = R_{5} - R_{2}$ 使

$5, 2$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.9.1

执行行操作

$R_{5} = R_{5} - R_{2}$ 使

$5, 2$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 - \frac{4}{5} & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 2.9.2

化简

$R_{5}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.10

将

$R_{3}$ 的每个元素乘以

$- \frac{1}{4}$ ，使

$3, 3$ 的项为

$1$ 。

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解题步骤 2.10.1

将

$R_{3}$ 的每个元素乘以

$- \frac{1}{4}$ ，使

$3, 3$ 的项为

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.10.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.11

执行行操作

$R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ 使

$4, 3$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.11.1

执行行操作

$R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ 使

$4, 3$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & \frac{7}{5} - \frac{7}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.11.2

化简

$R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.12

执行行操作

$R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ 使

$5, 3$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.12.1

执行行操作

$R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ 使

$5, 3$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & - \frac{9}{5} + \frac{9}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 2.12.2

化简

$R_{5}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.13

执行行操作

$R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ 使

$2, 3$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.13.1

执行行操作

$R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ 使

$2, 3$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{4}{5} \cdot 0 & \frac{4}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.13.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.14

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ 使

$1, 3$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.14.1

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ 使

$1, 3$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & \frac{1}{2} - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.14.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.15

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 2.15.1

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.15.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

解题步骤 4

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 5

写成解集。

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

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