线性代数示例

$S = {[\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 1

写成 $A x = 0$ 的增广矩阵。

$[\begin{array}{c} 6 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{6}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{6}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{4}{6} & \frac{0}{6} \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 (\frac{2}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{2}{3} & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.4

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{3}{13}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{3}{13}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ - \frac{3}{13} \cdot 0 & - \frac{3}{13} (- \frac{13}{3}) & - \frac{3}{13} \cdot 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.5

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.5.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 2.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.6

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.6.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.6.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 4

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 5

写成解集。

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]}$

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