线性代数示例

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]}$ ,

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

解题步骤 1

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]}$

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

将集合命名为

$S$ ，向量命名为

$v$ 。

解题步骤 2

假设线性相关来判断非平凡解是否为方程组的解。

$a [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

解题步骤 3

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.1

将向量写成矩阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2

写成

$A x = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$ 的增广矩阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}]$

解题步骤 3.3

执行行操作

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使

$2, 1$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 3.3.1

执行行操作

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使

$2, 1$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & 3 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & 4 \end{array}]$

解题步骤 3.4

将

$R_{2}$ 的每个元素乘以

$- \frac{1}{2}$ ，使

$2, 2$ 的项为

$1$ 。

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解题步骤 3.4.1

将

$R_{2}$ 的每个元素乘以

$- \frac{1}{2}$ ，使

$2, 2$ 的项为

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.5

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 3.5.1

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & - 1 + 2 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.5.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

解题步骤 4

因为得到的系统是一致的，向量是集合中一个元素

$v \in ⟨ S ⟩$

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