线性代数示例

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$ , $S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 13 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 12 \end{array}]}$

解题步骤 1

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 13 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 12 \end{array}]}$

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$

将集合命名为 $S$ ，向量命名为 $v$ 。

解题步骤 2

假设线性相关来判断非平凡解是否为方程组的解。

$a [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}] + b [\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 13 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 12 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$

解题步骤 3

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.1

将向量写成矩阵。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 \\ 2 & - 5 & - 1 \\ - 4 & 13 & - 12 \end{array}]$

解题步骤 3.2

写成 $A x = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$ 的增广矩阵。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 2 & - 5 & - 1 & 4 \\ - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{array}]$

解题步骤 3.3

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.3.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 5 - 2 \cdot - 3 & - 1 - 2 \cdot 2 & 4 - 2 \cdot - 1 \\ - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{array}]$

解题步骤 3.4

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 4 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.4.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 4 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 13 + 4 \cdot - 3 & - 12 + 4 \cdot 2 & 11 + 4 \cdot - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 & 7 \end{array}]$

解题步骤 3.5

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.5.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 4 + 5 & 7 - 6 \end{array}]$

解题步骤 3.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.6

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + 5 R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.6.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + 5 R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 + 5 \cdot 0 & 1 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 6 + 5 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.6.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.7

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.7.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 3 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.7.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.8

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.8.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 11 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.8.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 30 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 4

因为得到的系统是一致的，向量是集合中一个元素

$v \in ⟨ S ⟩$

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