线性代数示例

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ , $x + y = 2$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x = 2 - y$

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

解题步骤 2

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $2 - y$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $2 - y$ 替换 $6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ 中所有出现的 $x$ .

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1.1

将 ${(2 - y)}^{2}$ 重写为 $(2 - y) (2 - y)$ 。

$6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 - y) (2 - y)$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

运用分配律。

$6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

运用分配律。

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.2.3

运用分配律。

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 (4 - 2 y - 2 y - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1.5.1

移动 $y$ 。

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$6 (4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.7

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

从 $- 2 y$ 中减去 $2 y$ 。

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.4

运用分配律。

$6 \cdot 4 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.5

化简。

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解题步骤 2.2.1.1.5.1

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$24 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.5.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.2

将 $6 y^{2}$ 和 $3 y^{2}$ 相加。

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

解题步骤 3

在 $24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$ 中求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $12$ 。

$24 - 24 y + 9 y^{2} - 12 = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.2

从 $24$ 中减去 $12$ 。

$- 24 y + 9 y^{2} + 12 = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1

从 $- 24 y + 9 y^{2} + 12$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $- 24 y$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 8 y) + 9 y^{2} + 12 = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.1.2

从 $9 y^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 12 = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.1.3

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.1.4

从 $3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.1.5

从 $3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.2

使 $u = y$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $y$ 。

$3 (- 8 u + 3 u^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.3.1

重新排序项。

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ 并且它们的和为 $b = - 8$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.1

从 $- 8 u$ 中分解出因数 $- 8$ 。

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3.2.2

把 $- 8$ 重写为 $- 2$ 加 $- 6$

$3 (3 u^{2} + (- 2 - 6) u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3.2.3

运用分配律。

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$3 ((3 u^{2} - 2 u) - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3.4

通过因式分解出最大公因数 $3 u - 2$ 来因式分解多项式。

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.4

因数。

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解题步骤 3.3.4.1

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 ((3 y - 2) (y - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.4.2

去掉多余的括号。

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 y - 2 = 0$

$y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.5

将 $3 y - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $3 y - 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.5.2

求解 $y$ 的 $3 y - 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$3 y = 2$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.5.2.2

将 $3 y = 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将 $3 y = 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.5.2.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.6

将 $y - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $y - 2$ 设为等于 $0$ 。

$y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = 2$

$x = 2 - y$

$y = 2$

$x = 2 - y$

解题步骤 3.7

最终解为使 $3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$ 成立的所有值。

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

解题步骤 4

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $\frac{2}{3}$ 。

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解题步骤 4.1

使用 $\frac{2}{3}$ 替换 $x = 2 - y$ 中所有出现的 $y$ .

$x = 2 - (\frac{2}{3})$

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $2 - (\frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.1.3

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 \cdot 3 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.1.4.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{6 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.1.4.2

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 5

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $2$ 。

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解题步骤 5.1

使用 $2$ 替换 $x = 2 - y$ 中所有出现的 $y$ .

$x = 2 - (2)$

$y = 2$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $2 - (2)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x = 2 - 2$

$y = 2$

解题步骤 5.2.1.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

解题步骤 6

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

$(0, 2)$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

点形式：

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}), (0, 2)$

方程形式：

$x = \frac{4}{3}, y = \frac{2}{3}$

$x = 0, y = 2$

解题步骤 8

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