线性代数示例

4 x - y = - 4

$4 x - y = - 4$ ,

6 x - y = - 5

$6 x - y = - 5$

解题步骤 1

把方程组写成矩阵。

[\begin{array}{c} 4 & - 1 & - 4 \\ 6 & - 1 & - 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & - 1 & - 4 \\ 6 & - 1 & - 5 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 2.1.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 1}{4} & \frac{- 4}{4} \\ 6 & - 1 & - 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 1}{4} & \frac{- 4}{4} \\ 6 & - 1 & - 5 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 6 & - 1 & - 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 6 & - 1 & - 5 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 6 & - 1 & - 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 6 & - 1 & - 5 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 1 - 6 (- \frac{1}{4}) & - 5 - 6 \cdot - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 1 - 6 (- \frac{1}{4}) & - 5 - 6 \cdot - 1 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.3

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

2

$2$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 2.3.1

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

2

$2$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.4

执行行操作

R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 2.4.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1 & - 1 + \frac{1}{4} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1 & - 1 + \frac{1}{4} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

x = - \frac{1}{2}

$x = - \frac{1}{2}$

y = 2

$y = 2$

解题步骤 4

解为使方程组成立的有序对集合。

(- \frac{1}{2}, 2)

$(- \frac{1}{2}, 2)$

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