线性代数示例

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$ ,

8 x - y = 2

$8 x - y = 2$

解题步骤 1

把方程组写成矩阵。

[\begin{array}{c} 5 & - 4 & - 3 \\ 8 & - 1 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 & - 3 \\ 8 & - 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 2.1.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{- 4}{5} & \frac{- 3}{5} \\ 8 & - 1 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{- 4}{5} & \frac{- 3}{5} \\ 8 & - 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 8 & - 1 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 8 & - 1 & 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 8 & - 1 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 8 & - 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 8 - 8 \cdot 1 & - 1 - 8 (- \frac{4}{5}) & 2 - 8 (- \frac{3}{5}) \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 8 - 8 \cdot 1 & - 1 - 8 (- \frac{4}{5}) & 2 - 8 (- \frac{3}{5}) \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & \frac{27}{5} & \frac{34}{5} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & \frac{27}{5} & \frac{34}{5} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & \frac{27}{5} & \frac{34}{5} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & \frac{27}{5} & \frac{34}{5} \end{array}]$

解题步骤 2.3

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{5}{27}

$\frac{5}{27}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 2.3.1

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{5}{27}

$\frac{5}{27}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{5}{27} \cdot 0 & \frac{5}{27} \cdot \frac{27}{5} & \frac{5}{27} \cdot \frac{34}{5} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{5}{27} \cdot 0 & \frac{5}{27} \cdot \frac{27}{5} & \frac{5}{27} \cdot \frac{34}{5} \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & \frac{34}{27} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & \frac{34}{27} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & \frac{34}{27} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & - \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & \frac{34}{27} \end{array}]$

解题步骤 2.4

执行行操作

R_{1} = R_{1} + \frac{4}{5} R_{2}

$R_{1} = R_{1} + \frac{4}{5} R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 2.4.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} + \frac{4}{5} R_{2}

$R_{1} = R_{1} + \frac{4}{5} R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{5} \cdot 0 & - \frac{4}{5} + \frac{4}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{34}{27} \\ 0 & 1 & \frac{34}{27} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{5} \cdot 0 & - \frac{4}{5} + \frac{4}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{34}{27} \\ 0 & 1 & \frac{34}{27} \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{27} \\ 0 & 1 & \frac{34}{27} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{27} \\ 0 & 1 & \frac{34}{27} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{27} \\ 0 & 1 & \frac{34}{27} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{27} \\ 0 & 1 & \frac{34}{27} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{27} \\ 0 & 1 & \frac{34}{27} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{27} \\ 0 & 1 & \frac{34}{27} \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

解题步骤 4

解为使方程组成立的有序对集合。

(\frac{11}{27}, \frac{34}{27})

$(\frac{11}{27}, \frac{34}{27})$

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