线性代数示例

x + 2 y + z = 3

$x + 2 y + z = 3$ ,

2 x - y - 3 z = 5

$2 x - y - 3 z = 5$ ,

4 x + 3 y - z = k

$4 x + 3 y - z = k$

解题步骤 1

从等式两边同时减去

k

$k$ 。

x + 2 y + z = 3, 2 x - y - 3 z = 5, 4 x + 3 y - z - k = 0

$x + 2 y + z = 3, 2 x - y - 3 z = 5, 4 x + 3 y - z - k = 0$

解题步骤 2

以矩阵形式书写方程组。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 2 & - 1 & - 3 & 5 - 1 k & 3 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & - 1 & - 3 & 5 \\ - 1 k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.1

将

- 1 k

$- 1 k$ 重写为

- k

$- k$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 2 & - 1 & - 3 & 5 - k & 3 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & - 1 & - 3 & 5 \\ - k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.2.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 2 & - 3 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot 3 - k & 3 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 2 & - 3 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot 3 \\ - k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & - 5 & - 5 & - 1 - k & 3 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ - k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & - 5 & - 5 & - 1 - k & 3 & - 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ - k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3

执行行操作

R_{3} = R_{3} + k R_{1}

$R_{3} = R_{3} + k R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.3.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} + k R_{1}

$R_{3} = R_{3} + k R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & - 5 & - 5 & - 1 - k + k \cdot 1 & 3 + k \cdot 2 & - 1 + k \cdot 1 & 0 + k \cdot 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ - k + k \cdot 1 & 3 + k \cdot 2 & - 1 + k \cdot 1 & 0 + k \cdot 3 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & - 5 & - 5 & - 1 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & - 5 & - 5 & - 1 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{array}]$

解题步骤 3.4

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 3.4.1

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 1 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 1 \\ 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 3 + 2 k & - 1 + k & 3 k \end{array}]$

解题步骤 3.5

执行行操作

R_{3} = R_{3} - (3 + 2 k) R_{2}

$R_{3} = R_{3} - (3 + 2 k) R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.5.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} - (3 + 2 k) R_{2}

$R_{3} = R_{3} - (3 + 2 k) R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 - (3 + 2 k) \cdot 0 & 3 + 2 k - (3 + 2 k) \cdot 1 & - 1 + k - (3 + 2 k) \cdot 1 & 3 k - (3 + 2 k) \frac{1}{5} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 - (3 + 2 k) \cdot 0 & 3 + 2 k - (3 + 2 k) \cdot 1 & - 1 + k - (3 + 2 k) \cdot 1 & 3 k - (3 + 2 k) \frac{1}{5} \end{array}]$

解题步骤 3.5.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 & 0 & - k - 4 & \frac{13 k - 3}{5} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & - k - 4 & \frac{13 k - 3}{5} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 & 0 & - k - 4 & \frac{13 k - 3}{5} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & - k - 4 & \frac{13 k - 3}{5} \end{array}]$

解题步骤 3.6

将

R_{3}

$R_{3}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{- k - 4}

$\frac{1}{- k - 4}$ ，使

3, 3

$3, 3$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 3.6.1

将

R_{3}

$R_{3}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{- k - 4}

$\frac{1}{- k - 4}$ ，使

3, 3

$3, 3$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \frac{0}{- k - 4} & \frac{0}{- k - 4} & \frac{- k - 4}{- k - 4} & \frac{\frac{13 k - 3}{5}}{- k - 4} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ \frac{0}{- k - 4} & \frac{0}{- k - 4} & \frac{- k - 4}{- k - 4} & \frac{\frac{13 k - 3}{5}}{- k - 4} \end{array}]$

解题步骤 3.6.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

解题步骤 3.7

执行行操作

$R_{2} = R_{2} - R_{3}$ 使

$2, 3$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 3.7.1

执行行操作

$R_{2} = R_{2} - R_{3}$ 使

$2, 3$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{1}{5} + \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

解题步骤 3.7.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

解题步骤 3.8

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ 使

$1, 3$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 3.8.1

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ 使

$1, 3$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 3 + \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

解题步骤 3.8.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & \frac{28 k + 57}{5 (k + 4)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

解题步骤 3.9

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 3.9.1

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & \frac{28 k + 57}{5 (k + 4)} - 2 \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

解题步骤 3.9.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

解题步骤 4

因为当

$- \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)}$ 时

$k = - 4$ 无意义，所以

$k = - 4$ 使得方程组无解。

$k = - 4$

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