线性代数示例

$x + 2 y = 1$ , $4 x + 5 y = 13$

解题步骤 1

从方程组中求 $A X = B$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 13 \end{array}]$

解题步骤 2

求系数矩阵的逆矩阵。

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解题步骤 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 2.2

Find the determinant.

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解题步骤 2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 5 - 4 \cdot 2$

解题步骤 2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 - 4 \cdot 2$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$5 - 8$

解题步骤 2.2.2.2

从 $5$ 中减去 $8$ 。

$- 3$

解题步骤 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.6

将 $- \frac{1}{3}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 5 & - \frac{1}{3} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 2.7

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 2.7.1

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot 5$ 。

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解题步骤 2.7.1.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - 5 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 2.7.1.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 2.7.2

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 2.7.3

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.7.3.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & 2 (\frac{1}{3}) \\ - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 2.7.3.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 2.7.4

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot - 4$ 。

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解题步骤 2.7.4.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ 4 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 2.7.4.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 2.7.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}]$

解题步骤 3

对矩阵方程的两边同时左乘逆矩阵。

$([\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ 13 \end{array}]$

解题步骤 4

任何矩阵与其逆矩阵的乘积始终等于 $1$ 。 $A \cdot A^{- 1} = 1$ 。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ 13 \end{array}]$

解题步骤 5

乘以 $[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 \\ 13 \end{array}]$ 。

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解题步骤 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

解题步骤 5.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 13 \\ \frac{4}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 13 \end{array}]$

解题步骤 5.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 7 \\ - 3 \end{array}]$

解题步骤 6

化简左右两边。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ - 3 \end{array}]$

解题步骤 7

求解。

$x = 7$

$y = - 3$

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