线性代数示例

$[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 1

将集合命名为 $S$ 以在整个解题过程中使用。

$S = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 2

创建一个矩阵，矩阵的行为生成集里的向量。

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 3 \\ - 1 & - 3 & - 5 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

求矩阵的行简化梯阵形式。

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解题步骤 3.1

交换 $R_{2}$ 和 $R_{1}$ ，以在 $1, 1$ 中放入一个非零项。

$[\begin{array}{c} - 1 & - 3 & - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $- 1$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $- 1$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 3 & - - 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 3 & 1 - 2 \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

解题步骤 3.4

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & - 6 & - 9 \end{array}]$

解题步骤 3.5

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.5.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & - 9 + 6 (\frac{3}{2}) \end{array}]$

解题步骤 3.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.6

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.6.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.6.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4

将非零行转换为列向量以建立基底。

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \frac{3}{2} \end{array}]}$

解题步骤 5

因为基底有 $2$ 个向量，所以 $S$ 的维数为 $2$ 。

$dim (S) = 2$

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