线性代数示例

{[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

解题步骤 1

将集合命名为

S

$S$ 以在整个解题过程中使用。

S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

解题步骤 2

创建一个矩阵，矩阵的行为生成集里的向量。

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

解题步骤 3

求矩阵的行简化梯阵形式。

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解题步骤 3.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.1.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 3 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 3 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 3 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 3 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.1.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2

执行行操作

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.2.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 - 1 & 0 - 2 & - 1 - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 - 1 & 0 - 2 & - 1 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & - 2 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & - 2 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

解题步骤 3.3

执行行操作

R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.3.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 6 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

解题步骤 3.4

将

R_{3}

$R_{3}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ ，使

3, 3

$3, 3$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 3.4.1

将

R_{3}

$R_{3}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ ，使

3, 3

$3, 3$ 的项为

1

$1$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.5

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ 使

2, 3

$2, 3$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.5.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ 使

2, 3

$2, 3$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.5.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.6

执行行操作

R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ 使

1, 3

$1, 3$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.6.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ 使

1, 3

$1, 3$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.6.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.7

执行行操作

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.7.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.7.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 4

将非零行转换为列向量以建立基底。

{[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 5

因为基底有

3

$3$ 个向量，所以

S

$S$ 的维数为

3

$3$ 。

dim (S) = 3

$dim (S) = 3$

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线性代数 示例

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