线性代数示例

[\begin{matrix} - 2 & 0 - 5 & - 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 4 & 0 2 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 5 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}]$

解题步骤 1

加上相应元素。

[\begin{matrix} - 2 - 4 & 0 + 0 - 5 + 2 & - 4 + 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 2 - 4 & 0 + 0 \\ - 5 + 2 & - 4 + 2 \end{array}]$

解题步骤 2

化简每一个元素。

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解题步骤 2.1

从

- 2

$- 2$ 中减去

4

$4$ 。

[\begin{matrix} - 6 & 0 + 0 - 5 + 2 & - 4 + 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 6 & 0 + 0 \\ - 5 + 2 & - 4 + 2 \end{array}]$

解题步骤 2.2

将

0

$0$ 和

0

$0$ 相加。

[\begin{matrix} - 6 & 0 - 5 + 2 & - 4 + 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 5 + 2 & - 4 + 2 \end{array}]$

解题步骤 2.3

将

- 5

$- 5$ 和

2

$2$ 相加。

[\begin{matrix} - 6 & 0 - 3 & - 4 + 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 3 & - 4 + 2 \end{array}]$

解题步骤 2.4

将

- 4

$- 4$ 和

2

$2$ 相加。

[\begin{matrix} - 6 & 0 - 3 & - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 3 & - 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} - 6 & 0 - 3 & - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 3 & - 2 \end{array}]$

解题步骤 3

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的逆矩阵可以通过使用公式

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ 求得，其中

$a d - b c$ 是行列式。

解题步骤 4

求行列式。

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解题步骤 4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 6 \cdot - 2 - (- 3 \cdot 0)$

解题步骤 4.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将

$- 6$ 乘以

$- 2$ 。

$12 - (- 3 \cdot 0)$

解题步骤 4.2.1.2

乘以

$- (- 3 \cdot 0)$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将

$- 3$ 乘以

$0$ 。

$12 - 0$

解题步骤 4.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$12 + 0$

解题步骤 4.2.2

将

$12$ 和

$0$ 相加。

$12$

解题步骤 5

由于行列式非零，所以逆存在。

解题步骤 6

将已知值代入逆的公式中。

$\frac{1}{12} [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 3 & - 6 \end{array}]$

解题步骤 7

将

$\frac{1}{12}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{12} \cdot - 2 & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

解题步骤 8

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 8.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1

从

$12$ 中分解出因数

$2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (6)} \cdot - 2 & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

解题步骤 8.1.2

从

$- 2$ 中分解出因数

$2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

解题步骤 8.1.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

解题步骤 8.1.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} \cdot - 1 & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

解题步骤 8.2

组合

$\frac{1}{6}$ 和

$- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6} & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

解题步骤 8.3

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

解题步骤 8.4

将

$\frac{1}{12}$ 乘以

$0$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

解题步骤 8.5

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.1

从

$12$ 中分解出因数

$3$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{3 (4)} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

解题步骤 8.5.2

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{3 \cdot 4} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

解题步骤 8.5.3

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

解题步骤 8.6

约去

$6$ 的公因数。

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解题步骤 8.6.1

从

$12$ 中分解出因数

$6$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6 (2)} \cdot - 6 \end{array}]$

解题步骤 8.6.2

从

$- 6$ 中分解出因数

$6$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1) \end{array}]$

解题步骤 8.6.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1) \end{array}]$

解题步骤 8.6.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \cdot - 1 \end{array}]$

解题步骤 8.7

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{- 1}{2} \end{array}]$

解题步骤 8.8

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} \end{array}]$

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