线性代数示例

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 2 & - 2 \end{array}]$

解题步骤 1

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 0 - 1 \\ 0 + 2 & 1 - 2 \end{array}]$

解题步骤 2

化简每一个元素。

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解题步骤 2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 - 1 \\ 0 + 2 & 1 - 2 \end{array}]$

解题步骤 2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 0 + 2 & 1 - 2 \end{array}]$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 2 & 1 - 2 \end{array}]$

解题步骤 2.4

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

解题步骤 3

$2 \times 2$ 矩阵的逆矩阵可以通过使用公式 $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ 求得，其中 $a d - b c$ 是行列式。

解题步骤 4

求行列式。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 \cdot - 1 - 2 \cdot - 1$

解题步骤 4.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 2$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

解题步骤 5

由于行列式非零，所以逆存在。

解题步骤 6

将已知值代入逆的公式中。

$\frac{1}{2} [\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{2}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 8

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 8.2

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 8.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1)) & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 8.4.2

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 8.4.3

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 8.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - 1 & 0 \end{array}]$

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