线性代数示例

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 1.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.4

将元素 $a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$1 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.6

将元素 $a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.8

将元素 $a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.9

最后把这些项加起来。

$1 | \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2

计算 $| \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 (4 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$1 (4 - 1 \cdot 2) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$1 (4 - 2) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$1 \cdot 2 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 2 - 3 (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2

化简行列式。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot 2 - 3 (3 - 1 \cdot 2) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$1 \cdot 2 - 3 (3 - 2) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 4

计算 $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 \cdot 1 - 1 \cdot 4)$

解题步骤 4.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 - 1 \cdot 4)$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 (3 - 4)$

解题步骤 4.2.2

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 1$

解题步骤 5

化简行列式。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 - 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.1.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$2 - 3 + 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 - 3 - 1$

解题步骤 5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$- 1 - 1$

解题步骤 5.3

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$- 2$

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