线性代数示例

$A = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

解题步骤 1

考虑相应的符号表。

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

解题步骤 2

使用符号表和给定矩阵求每一个元素的代数余子式。

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解题步骤 2.1

计算元素 $a_{11}$ 的子式。

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解题步骤 2.1.1

$a_{11}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2

计算行列式。

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解题步骤 2.1.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{11} = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6$

解题步骤 2.1.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$a_{11} = 45 - 8 \cdot 6$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

将 $- 8$ 乘以 $6$ 。

$a_{11} = 45 - 48$

解题步骤 2.1.2.2.2

从 $45$ 中减去 $48$ 。

$a_{11} = - 3$

解题步骤 2.2

计算元素 $a_{12}$ 的子式。

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解题步骤 2.2.1

$a_{12}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

计算行列式。

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解题步骤 2.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{12} = 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6$

解题步骤 2.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$a_{12} = 36 - 7 \cdot 6$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

将 $- 7$ 乘以 $6$ 。

$a_{12} = 36 - 42$

解题步骤 2.2.2.2.2

从 $36$ 中减去 $42$ 。

$a_{12} = - 6$

解题步骤 2.3

计算元素 $a_{13}$ 的子式。

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解题步骤 2.3.1

$a_{13}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

计算行列式。

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解题步骤 2.3.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{13} = 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5$

解题步骤 2.3.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$a_{13} = 32 - 7 \cdot 5$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

将 $- 7$ 乘以 $5$ 。

$a_{13} = 32 - 35$

解题步骤 2.3.2.2.2

从 $32$ 中减去 $35$ 。

$a_{13} = - 3$

解题步骤 2.4

计算元素 $a_{21}$ 的子式。

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解题步骤 2.4.1

$a_{21}$ 的子式是已删除了行 $2$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2

计算行列式。

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解题步骤 2.4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{21} = 2 \cdot 9 - 8 \cdot 3$

解题步骤 2.4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$a_{21} = 18 - 8 \cdot 3$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$a_{21} = 18 - 24$

解题步骤 2.4.2.2.2

从 $18$ 中减去 $24$ 。

$a_{21} = - 6$

解题步骤 2.5

计算元素 $a_{22}$ 的子式。

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解题步骤 2.5.1

$a_{22}$ 的子式是已删除了行 $2$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2

计算行列式。

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解题步骤 2.5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{22} = 1 \cdot 9 - 7 \cdot 3$

解题步骤 2.5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.2.1.1

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$a_{22} = 9 - 7 \cdot 3$

解题步骤 2.5.2.2.1.2

将 $- 7$ 乘以 $3$ 。

$a_{22} = 9 - 21$

解题步骤 2.5.2.2.2

从 $9$ 中减去 $21$ 。

$a_{22} = - 12$

解题步骤 2.6

计算元素 $a_{23}$ 的子式。

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解题步骤 2.6.1

$a_{23}$ 的子式是已删除了行 $2$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2

计算行列式。

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解题步骤 2.6.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{23} = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2$

解题步骤 2.6.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.2.1.1

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$a_{23} = 8 - 7 \cdot 2$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$a_{23} = 8 - 14$

解题步骤 2.6.2.2.2

从 $8$ 中减去 $14$ 。

$a_{23} = - 6$

解题步骤 2.7

计算元素 $a_{31}$ 的子式。

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解题步骤 2.7.1

$a_{31}$ 的子式是已删除了行 $3$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2

计算行列式。

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解题步骤 2.7.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{31} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3$

解题步骤 2.7.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$a_{31} = 12 - 5 \cdot 3$

解题步骤 2.7.2.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$a_{31} = 12 - 15$

解题步骤 2.7.2.2.2

从 $12$ 中减去 $15$ 。

$a_{31} = - 3$

解题步骤 2.8

计算元素 $a_{32}$ 的子式。

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解题步骤 2.8.1

$a_{32}$ 的子式是已删除了行 $3$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2

计算行列式。

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解题步骤 2.8.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{32} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 3$

解题步骤 2.8.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.8.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.2.1.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$a_{32} = 6 - 4 \cdot 3$

解题步骤 2.8.2.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$a_{32} = 6 - 12$

解题步骤 2.8.2.2.2

从 $6$ 中减去 $12$ 。

$a_{32} = - 6$

解题步骤 2.9

计算元素 $a_{33}$ 的子式。

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解题步骤 2.9.1

$a_{33}$ 的子式是已删除了行 $3$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2

计算行列式。

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解题步骤 2.9.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{33} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2$

解题步骤 2.9.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.2.1.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$a_{33} = 5 - 4 \cdot 2$

解题步骤 2.9.2.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$a_{33} = 5 - 8$

解题步骤 2.9.2.2.2

从 $5$ 中减去 $8$ 。

$a_{33} = - 3$

解题步骤 2.10

代数余子式矩阵是对应于符号图上 $-$ 位置中的元素的符号已更改的子式矩阵。

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

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