线性代数示例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 3 & 2 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1

写成

A x = 0

$A x = 0$ 的增广矩阵。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 3 & 2 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

- 1

$- 1$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 2.1.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

- 1

$- 1$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 2 & - 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 2 & - 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 1 - 1 & 1 + 3 & 0 + 2 & 0 - 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 3 & 0 + 2 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.3

执行行操作

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 2.3.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 1 - 1 & 1 + 3 & 0 + 2 & 0 - 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 3 & 0 + 2 & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 0 & 4 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.4

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 2.4.1

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{2}{4} & \frac{0}{4} 0 & 4 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{2}{4} & \frac{0}{4} \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 4 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 4 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.5

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 2.5.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{1}{2}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{1}{2}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 2.5.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.6

执行行操作

R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 2.6.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 2 + 3 (\frac{1}{2}) & 0 + 3 \cdot 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 2 + 3 (\frac{1}{2}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.6.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

x - \frac{1}{2} z = 0

$x - \frac{1}{2} z = 0$

y + \frac{1}{2} z = 0

$y + \frac{1}{2} z = 0$

0 = 0

$0 = 0$

解题步骤 4

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{z}{2} - \frac{z}{2} z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} \\ - \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

解题步骤 5

把解写成向量的线性组合。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 6

写成解集。

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

解题步骤 7

解为通过方程组自由变量创建的向量集合。

$Nul (A)$ 的底数：

$Nul (A)$

$Nul (A)$ 的维数：

$1$

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线性代数 示例

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