线性代数示例

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 2 - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 135 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 101 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 1

将集合命名为

S

$S$ 以在整个解题过程中使用。

S = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 2 - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 135 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 101 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

$S = {[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 2

创建一个矩阵，矩阵的行为生成集里的向量。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 2 & - 3 1 & 3 & 5 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 2 & - 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

求矩阵的行简化梯阵形式。

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解题步骤 3.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 3.1.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{- 3}{2} 1 & 3 & 5 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{- 3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.1.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 1 & 3 & 5 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 1 & 3 & 5 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2

执行行操作

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.2.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 1 - 1 & 3 + 1 & 5 + \frac{3}{2} 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 - 1 & 3 + 1 & 5 + \frac{3}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 4 & \frac{13}{2} 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 4 & \frac{13}{2} 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3

执行行操作

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使

$3, 1$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 3.3.1

执行行操作

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使

$3, 1$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 - 1 & 0 + 1 & 1 + \frac{3}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.4

将

$R_{2}$ 的每个元素乘以

$\frac{1}{4}$ ，使

$2, 2$ 的项为

$1$ 。

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解题步骤 3.4.1

将

$R_{2}$ 的每个元素乘以

$\frac{1}{4}$ ，使

$2, 2$ 的项为

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{\frac{13}{2}}{4} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.5

执行行操作

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ 使

$3, 2$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 3.5.1

执行行操作

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ 使

$3, 2$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 - 0 & 1 - 1 & \frac{5}{2} - \frac{13}{8} \end{array}]$

解题步骤 3.5.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & \frac{7}{8} \end{array}]$

解题步骤 3.6

将

$R_{3}$ 的每个元素乘以

$\frac{8}{7}$ ，使

$3, 3$ 的项为

$1$ 。

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解题步骤 3.6.1

将

$R_{3}$ 的每个元素乘以

$\frac{8}{7}$ ，使

$3, 3$ 的项为

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{8} \end{array}]$

解题步骤 3.6.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.7

执行行操作

$R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}$ 使

$2, 3$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 3.7.1

执行行操作

$R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}$ 使

$2, 3$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 - \frac{13}{8} \cdot 0 & 1 - \frac{13}{8} \cdot 0 & \frac{13}{8} - \frac{13}{8} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.7.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.8

执行行操作

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ 使

$1, 3$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 3.8.1

执行行操作

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ 使

$1, 3$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.8.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.9

执行行操作

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

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解题步骤 3.9.1

执行行操作

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.9.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 4

将非零行转换为列向量以建立基底。

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

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