线性代数示例

B = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & - 1 5 & 4 & 3 2 & - 4 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$B = [\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 5 & 4 & 3 \\ 2 & - 4 & 8 \end{array}]$

解题步骤 1

考虑相应的符号表。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

解题步骤 2

使用符号表和给定矩阵求每一个元素的代数余子式。

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解题步骤 2.1

计算元素

b_{11}

$b_{11}$ 的子式。

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解题步骤 2.1.1

b_{11}

$b_{11}$ 的子式是已删除了行

1

$1$ 和列

1

$1$ 的行列式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 - 4 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 4 & 8 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2

计算行列式。

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解题步骤 2.1.2.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

b_{11} = 4 \cdot 8 - (- 4 \cdot 3)

$b_{11} = 4 \cdot 8 - (- 4 \cdot 3)$

解题步骤 2.1.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

将

4

$4$ 乘以

8

$8$ 。

b_{11} = 32 - (- 4 \cdot 3)

$b_{11} = 32 - (- 4 \cdot 3)$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

乘以

- (- 4 \cdot 3)

$- (- 4 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1.2.1

将

- 4

$- 4$ 乘以

3

$3$ 。

b_{11} = 32 - - 12

$b_{11} = 32 - - 12$

解题步骤 2.1.2.2.1.2.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 12

$- 12$ 。

b_{11} = 32 + 12

$b_{11} = 32 + 12$

b_{11} = 32 + 12

$b_{11} = 32 + 12$

b_{11} = 32 + 12

$b_{11} = 32 + 12$

解题步骤 2.1.2.2.2

将

32

$32$ 和

12

$12$ 相加。

b_{11} = 44

$b_{11} = 44$

b_{11} = 44

$b_{11} = 44$

b_{11} = 44

$b_{11} = 44$

b_{11} = 44

$b_{11} = 44$

解题步骤 2.2

计算元素

b_{12}

$b_{12}$ 的子式。

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解题步骤 2.2.1

b_{12}

$b_{12}$ 的子式是已删除了行

1

$1$ 和列

2

$2$ 的行列式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 3 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 8 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

计算行列式。

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解题步骤 2.2.2.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

b_{12} = 5 \cdot 8 - 2 \cdot 3

$b_{12} = 5 \cdot 8 - 2 \cdot 3$

解题步骤 2.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

将

5

$5$ 乘以

8

$8$ 。

b_{12} = 40 - 2 \cdot 3

$b_{12} = 40 - 2 \cdot 3$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

将

- 2

$- 2$ 乘以

3

$3$ 。

b_{12} = 40 - 6

$b_{12} = 40 - 6$

b_{12} = 40 - 6

$b_{12} = 40 - 6$

解题步骤 2.2.2.2.2

从

40

$40$ 中减去

6

$6$ 。

b_{12} = 34

$b_{12} = 34$

b_{12} = 34

$b_{12} = 34$

b_{12} = 34

$b_{12} = 34$

b_{12} = 34

$b_{12} = 34$

解题步骤 2.3

计算元素

b_{13}

$b_{13}$ 的子式。

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解题步骤 2.3.1

b_{13}

$b_{13}$ 的子式是已删除了行

1

$1$ 和列

3

$3$ 的行列式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 4 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

计算行列式。

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解题步骤 2.3.2.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

b_{13} = 5 \cdot - 4 - 2 \cdot 4

$b_{13} = 5 \cdot - 4 - 2 \cdot 4$

解题步骤 2.3.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

将

5

$5$ 乘以

- 4

$- 4$ 。

b_{13} = - 20 - 2 \cdot 4

$b_{13} = - 20 - 2 \cdot 4$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

将

- 2

$- 2$ 乘以

4

$4$ 。

b_{13} = - 20 - 8

$b_{13} = - 20 - 8$

b_{13} = - 20 - 8

$b_{13} = - 20 - 8$

解题步骤 2.3.2.2.2

从

- 20

$- 20$ 中减去

8

$8$ 。

b_{13} = - 28

$b_{13} = - 28$

b_{13} = - 28

$b_{13} = - 28$

b_{13} = - 28

$b_{13} = - 28$

b_{13} = - 28

$b_{13} = - 28$

解题步骤 2.4

计算元素

b_{21}

$b_{21}$ 的子式。

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解题步骤 2.4.1

b_{21}

$b_{21}$ 的子式是已删除了行

2

$2$ 和列

1

$1$ 的行列式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 - 4 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 4 & 8 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2

计算行列式。

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解题步骤 2.4.2.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

b_{21} = 2 \cdot 8 - (- 4 \cdot - 1)

$b_{21} = 2 \cdot 8 - (- 4 \cdot - 1)$

解题步骤 2.4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

将

2

$2$ 乘以

8

$8$ 。

b_{21} = 16 - (- 4 \cdot - 1)

$b_{21} = 16 - (- 4 \cdot - 1)$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

乘以

- (- 4 \cdot - 1)

$- (- 4 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1.2.1

将

- 4

$- 4$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

b_{21} = 16 - 1 \cdot 4

$b_{21} = 16 - 1 \cdot 4$

解题步骤 2.4.2.2.1.2.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

4

$4$ 。

b_{21} = 16 - 4

$b_{21} = 16 - 4$

b_{21} = 16 - 4

$b_{21} = 16 - 4$

b_{21} = 16 - 4

$b_{21} = 16 - 4$

解题步骤 2.4.2.2.2

从

16

$16$ 中减去

4

$4$ 。

b_{21} = 12

$b_{21} = 12$

b_{21} = 12

$b_{21} = 12$

b_{21} = 12

$b_{21} = 12$

b_{21} = 12

$b_{21} = 12$

解题步骤 2.5

计算元素

b_{22}

$b_{22}$ 的子式。

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解题步骤 2.5.1

b_{22}

$b_{22}$ 的子式是已删除了行

2

$2$ 和列

2

$2$ 的行列式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 1 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 8 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2

计算行列式。

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解题步骤 2.5.2.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

b_{22} = 1 \cdot 8 - 2 \cdot - 1

$b_{22} = 1 \cdot 8 - 2 \cdot - 1$

解题步骤 2.5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.2.1.1

将

8

$8$ 乘以

1

$1$ 。

b_{22} = 8 - 2 \cdot - 1

$b_{22} = 8 - 2 \cdot - 1$

解题步骤 2.5.2.2.1.2

将

- 2

$- 2$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

b_{22} = 8 + 2

$b_{22} = 8 + 2$

b_{22} = 8 + 2

$b_{22} = 8 + 2$

解题步骤 2.5.2.2.2

将

8

$8$ 和

2

$2$ 相加。

b_{22} = 10

$b_{22} = 10$

b_{22} = 10

$b_{22} = 10$

解题步骤 2.6

计算元素

$b_{23}$ 的子式。

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解题步骤 2.6.1

$b_{23}$ 的子式是已删除了行

$2$ 和列

$3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2

计算行列式。

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解题步骤 2.6.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$b_{23} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 2$

解题步骤 2.6.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.2.1.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$b_{23} = - 4 - 2 \cdot 2$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

将

$- 2$ 乘以

$2$ 。

$b_{23} = - 4 - 4$

解题步骤 2.6.2.2.2

从

$- 4$ 中减去

$4$ 。

$b_{23} = - 8$

解题步骤 2.7

计算元素

$b_{31}$ 的子式。

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解题步骤 2.7.1

$b_{31}$ 的子式是已删除了行

$3$ 和列

$1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2

计算行列式。

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解题步骤 2.7.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$b_{31} = 2 \cdot 3 - 4 \cdot - 1$

解题步骤 2.7.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.2.1.1

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$b_{31} = 6 - 4 \cdot - 1$

解题步骤 2.7.2.2.1.2

将

$- 4$ 乘以

$- 1$ 。

$b_{31} = 6 + 4$

解题步骤 2.7.2.2.2

将

$6$ 和

$4$ 相加。

$b_{31} = 10$

解题步骤 2.8

计算元素

$b_{32}$ 的子式。

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解题步骤 2.8.1

$b_{32}$ 的子式是已删除了行

$3$ 和列

$2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2

计算行列式。

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解题步骤 2.8.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$b_{32} = 1 \cdot 3 - 5 \cdot - 1$

解题步骤 2.8.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.8.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.2.1.1

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$b_{32} = 3 - 5 \cdot - 1$

解题步骤 2.8.2.2.1.2

将

$- 5$ 乘以

$- 1$ 。

$b_{32} = 3 + 5$

解题步骤 2.8.2.2.2

将

$3$ 和

$5$ 相加。

$b_{32} = 8$

解题步骤 2.9

计算元素

$b_{33}$ 的子式。

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解题步骤 2.9.1

$b_{33}$ 的子式是已删除了行

$3$ 和列

$3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2

计算行列式。

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解题步骤 2.9.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$b_{33} = 1 \cdot 4 - 5 \cdot 2$

解题步骤 2.9.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.2.1.1

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$b_{33} = 4 - 5 \cdot 2$

解题步骤 2.9.2.2.1.2

将

$- 5$ 乘以

$2$ 。

$b_{33} = 4 - 10$

解题步骤 2.9.2.2.2

从

$4$ 中减去

$10$ 。

$b_{33} = - 6$

解题步骤 2.10

代数余子式矩阵是对应于符号图上

$-$ 位置中的元素的符号已更改的子式矩阵。

$[\begin{array}{c} 44 & - 34 & - 28 \\ - 12 & 10 & 8 \\ 10 & - 8 & - 6 \end{array}]$

解题步骤 3

把矩阵的行转换成列，来转置矩阵。

$[\begin{array}{c} 44 & - 12 & 10 \\ - 34 & 10 & - 8 \\ - 28 & 8 & - 6 \end{array}]$

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