线性代数示例

$A = [\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]$

解题步骤 1

考虑相应的符号表。

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

解题步骤 2

使用符号表和给定矩阵求每一个元素的代数余子式。

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解题步骤 2.1

计算元素 $a_{11}$ 的子式。

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解题步骤 2.1.1

$a_{11}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2

计算行列式。

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解题步骤 2.1.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4$

解题步骤 2.1.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$a_{11} = 12 - 2 \cdot 4$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$a_{11} = 12 - 8$

解题步骤 2.1.2.2.2

从 $12$ 中减去 $8$ 。

$a_{11} = 4$

解题步骤 2.2

计算元素 $a_{12}$ 的子式。

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解题步骤 2.2.1

$a_{12}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

计算行列式。

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解题步骤 2.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

解题步骤 2.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$a_{12} = 12 - 1 \cdot 4$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$a_{12} = 12 - 4$

解题步骤 2.2.2.2.2

从 $12$ 中减去 $4$ 。

$a_{12} = 8$

解题步骤 2.3

计算元素 $a_{13}$ 的子式。

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解题步骤 2.3.1

$a_{13}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

计算行列式。

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解题步骤 2.3.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$

解题步骤 2.3.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$a_{13} = 8 - 1 \cdot 4$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$a_{13} = 8 - 4$

解题步骤 2.3.2.2.2

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$a_{13} = 4$

解题步骤 2.4

计算元素 $a_{21}$ 的子式。

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解题步骤 2.4.1

$a_{21}$ 的子式是已删除了行 $2$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2

计算行列式。

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解题步骤 2.4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{21} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1$

解题步骤 2.4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$a_{21} = 6 - 2 \cdot 1$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$a_{21} = 6 - 2$

解题步骤 2.4.2.2.2

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$a_{21} = 4$

解题步骤 2.5

计算元素 $a_{22}$ 的子式。

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解题步骤 2.5.1

$a_{22}$ 的子式是已删除了行 $2$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2

计算行列式。

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解题步骤 2.5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{22} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$a_{22} = 9 - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.5.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a_{22} = 9 - 1$

解题步骤 2.5.2.2.2

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$a_{22} = 8$

解题步骤 2.6

计算元素 $a_{23}$ 的子式。

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解题步骤 2.6.1

$a_{23}$ 的子式是已删除了行 $2$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2

计算行列式。

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解题步骤 2.6.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{23} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$

解题步骤 2.6.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$a_{23} = 6 - 1 \cdot 2$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a_{23} = 6 - 2$

解题步骤 2.6.2.2.2

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$a_{23} = 4$

解题步骤 2.7

计算元素 $a_{31}$ 的子式。

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解题步骤 2.7.1

$a_{31}$ 的子式是已删除了行 $3$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2

计算行列式。

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解题步骤 2.7.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{31} = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.7.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$a_{31} = 8 - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.7.2.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$a_{31} = 8 - 4$

解题步骤 2.7.2.2.2

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$a_{31} = 4$

解题步骤 2.8

计算元素 $a_{32}$ 的子式。

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解题步骤 2.8.1

$a_{32}$ 的子式是已删除了行 $3$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2

计算行列式。

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解题步骤 2.8.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{32} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.8.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.8.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$a_{32} = 12 - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.8.2.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$a_{32} = 12 - 4$

解题步骤 2.8.2.2.2

从 $12$ 中减去 $4$ 。

$a_{32} = 8$

解题步骤 2.9

计算元素 $a_{33}$ 的子式。

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解题步骤 2.9.1

$a_{33}$ 的子式是已删除了行 $3$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2

计算行列式。

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解题步骤 2.9.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{33} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2$

解题步骤 2.9.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$a_{33} = 12 - 4 \cdot 2$

解题步骤 2.9.2.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$a_{33} = 12 - 8$

解题步骤 2.9.2.2.2

从 $12$ 中减去 $8$ 。

$a_{33} = 4$

解题步骤 2.10

代数余子式矩阵是对应于符号图上 $-$ 位置中的元素的符号已更改的子式矩阵。

$[\begin{array}{c} 4 & - 8 & 4 \\ - 4 & 8 & - 4 \\ 4 & - 8 & 4 \end{array}]$

解题步骤 3

把矩阵的行转换成列，来转置矩阵。

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 & 4 \\ - 8 & 8 & - 8 \\ 4 & - 4 & 4 \end{array}]$

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