线性代数示例

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征向量。

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解题步骤 1.1

求特征值。

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解题步骤 1.1.1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

解题步骤 1.1.2

大小为 $3$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $3 \times 3$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.1.3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

代入 $[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

解题步骤 1.1.3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{3}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.1.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.4

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.6

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.2.6.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.6.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.7

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.8

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.1.4.3

化简每一个元素。

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解题步骤 1.1.4.3.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.1.4.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.1.4.3.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.1.4.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.1.4.3.5

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.1.4.3.6

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.1.5

求行列式。

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解题步骤 1.1.5.1

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $3$ 列中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 1.1.5.1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.1.5.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 1.1.5.1.3

$a_{13}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 1.1.5.1.4

将元素 $a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 1.1.5.1.5

$a_{23}$ 的子式是已删除了行 $2$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 1.1.5.1.6

将元素 $a_{23}$ 乘以其代数余子式。

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 1.1.5.1.7

$a_{33}$ 的子式是已删除了行 $3$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.1.5.1.8

将元素 $a_{33}$ 乘以其代数余子式。

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.1.5.1.9

最后把这些项加起来。

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.1.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.1.5.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.1.5.4

计算 $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.1.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.1.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 1.1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(5 - λ) (5 - λ)$ 。

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解题步骤 1.1.5.4.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.1.5.4.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.1.5.4.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.1.5.4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.5.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.4.2.1.2.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.1.5.4.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.1.5.4.2.1.2.1.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.1.5.4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.1.5.4.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.1.5.4.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.1.5.4.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.1.5.4.2.1.2.2

从 $- 5 λ$ 中减去 $5 λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

解题步骤 1.1.5.4.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 4)$

解题步骤 1.1.5.4.2.2

从 $25$ 中减去 $4$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 21)$

解题步骤 1.1.5.4.2.3

将 $- 10 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

解题步骤 1.1.5.5

化简行列式。

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解题步骤 1.1.5.5.1

合并 $0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.5.5.1.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

解题步骤 1.1.5.5.1.2

将 $0$ 和 $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ 相加。

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

解题步骤 1.1.5.5.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ 。

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 10 λ) + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

解题步骤 1.1.5.5.3

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.5.3.1

将 $- 10$ 乘以 $4$ 。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

解题步骤 1.1.5.5.3.2

将 $4$ 乘以 $21$ 。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

解题步骤 1.1.5.5.3.3

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.5.5.3.3.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

解题步骤 1.1.5.5.3.3.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.1.5.5.3.3.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

解题步骤 1.1.5.5.3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

解题步骤 1.1.5.5.3.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

解题步骤 1.1.5.5.3.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 21$

解题步骤 1.1.5.5.3.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.1.5.5.3.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 21$

解题步骤 1.1.5.5.3.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

解题步骤 1.1.5.5.3.6

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

解题步骤 1.1.5.5.3.7

将 $21$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ$

解题步骤 1.1.5.5.4

将 $4 λ^{2}$ 和 $10 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 21 λ$

解题步骤 1.1.5.5.5

从 $- 40 λ$ 中减去 $21 λ$ 。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ + 84 - λ^{3}$

解题步骤 1.1.5.5.6

移动 $84$ 。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ - λ^{3} + 84$

解题步骤 1.1.5.5.7

移动 $- 61 λ$ 。

$p (λ) = 14 λ^{2} - λ^{3} - 61 λ + 84$

解题步骤 1.1.5.5.8

将 $14 λ^{2}$ 和 $- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$

解题步骤 1.1.6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84 = 0$

解题步骤 1.1.7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.1.7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1.7.1.1

使用有理根检验法因式分解 $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ 。

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解题步骤 1.1.7.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.1.7.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

解题步骤 1.1.7.1.1.3

代入 $3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $3$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.1.7.1.1.3.1

将 $3$ 代入多项式。

$- 3^{3} + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

解题步骤 1.1.7.1.1.3.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

解题步骤 1.1.7.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$- 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

解题步骤 1.1.7.1.1.3.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 27 + 14 \cdot 9 - 61 \cdot 3 + 84$

解题步骤 1.1.7.1.1.3.5

将 $14$ 乘以 $9$ 。

$- 27 + 126 - 61 \cdot 3 + 84$

解题步骤 1.1.7.1.1.3.6

将 $- 27$ 和 $126$ 相加。

$99 - 61 \cdot 3 + 84$

解题步骤 1.1.7.1.1.3.7

将 $- 61$ 乘以 $3$ 。

$99 - 183 + 84$

解题步骤 1.1.7.1.1.3.8

从 $99$ 中减去 $183$ 。

$- 84 + 84$

解题步骤 1.1.7.1.1.3.9

将 $- 84$ 和 $84$ 相加。

$0$

解题步骤 1.1.7.1.1.4

因为 $3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $λ - 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84}{λ - 3}$

解题步骤 1.1.7.1.1.5

用 $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ 除以 $λ - 3$ 。

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解题步骤 1.1.7.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$61 λ$

$84$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- λ^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- λ^{3} + 3 λ^{2}$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $11 λ^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					+	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $11 λ^{2} - 33 λ$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 28 λ$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							-	$28 λ$	+	$84$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 28 λ + 84$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$
										$0$

解题步骤 1.1.7.1.1.5.16

Since the remainder is $0$ , the final answer is the quotient.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

解题步骤 1.1.7.1.1.6

将 $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ 书写为因数的集合。

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

解题步骤 1.1.7.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.7.1.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.7.1.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ 并且它们的和为 $b = 11$ 。

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解题步骤 1.1.7.1.2.1.1.1

从 $11 λ$ 中分解出因数 $11$ 。

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

解题步骤 1.1.7.1.2.1.1.2

把 $11$ 重写为 $4$ 加 $7$

$(λ - 3) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

解题步骤 1.1.7.1.2.1.1.3

运用分配律。

$(λ - 3) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

解题步骤 1.1.7.1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.7.1.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(λ - 3) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

解题步骤 1.1.7.1.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(λ - 3) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

解题步骤 1.1.7.1.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- λ + 4$ 来因式分解多项式。

$(λ - 3) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

解题步骤 1.1.7.1.2.2

去掉多余的括号。

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

解题步骤 1.1.7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$λ - 3 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

解题步骤 1.1.7.3

将 $λ - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.1.7.3.1

将 $λ - 3$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 3 = 0$

解题步骤 1.1.7.3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$λ = 3$

解题步骤 1.1.7.4

将 $- λ + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.1.7.4.1

将 $- λ + 4$ 设为等于 $0$ 。

$- λ + 4 = 0$

解题步骤 1.1.7.4.2

求解 $λ$ 的 $- λ + 4 = 0$ 。

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解题步骤 1.1.7.4.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- λ = - 4$

解题步骤 1.1.7.4.2.2

将 $- λ = - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.1.7.4.2.2.1

将 $- λ = - 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 1.1.7.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.7.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 1.1.7.4.2.2.2.2

用 $λ$ 除以 $1$ 。

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 1.1.7.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.7.4.2.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$λ = 4$

解题步骤 1.1.7.5

将 $λ - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.1.7.5.1

将 $λ - 7$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 7 = 0$

解题步骤 1.1.7.5.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$λ = 7$

解题步骤 1.1.7.6

最终解为使 $(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ 成立的所有值。

$λ = 3, 4, 7$

解题步骤 1.2

特征向量等于矩阵的零空间减去特征值再乘以单位矩阵，在其中， $N$ 是零空间， $I$ 是单位矩阵。

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

解题步骤 1.3

用特征值 $λ = 3$ 求特征向量。

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解题步骤 1.3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.3.2

化简。

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解题步骤 1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.1.1

将 $- 3$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.3.2.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.1.2.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.1.2.3

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.1.2.4

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.1.2.5

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.1.2.6

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.1.2.7

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.1.2.8

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.1.2.9

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 5 - 3 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.3

化简每一个元素。

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解题步骤 1.3.2.3.1

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.3.4

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.3.5

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.3.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.3.7

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.3.8

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 3 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.3.9

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3

求当 $λ = 3$ 时的零空间。

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解题步骤 1.3.3.1

写成 $A x = 0$ 的增广矩阵。

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 1.3.3.2.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2.2

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2.4

交换 $R_{3}$ 和 $R_{2}$ ，以在 $2, 2$ 中放入一个非零项。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2.5

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{5}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.2.5.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{5}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 1 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2.5.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2.6

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.6.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 + \frac{1}{5} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2.6.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

解题步骤 1.3.3.4

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.5

把解写成向量的线性组合。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.6

写成解集。

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

解题步骤 1.3.3.7

解为通过方程组自由变量创建的向量集合。

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 1.4

用特征值 $λ = 4$ 求特征向量。

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解题步骤 1.4.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

将 $- 4$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.4.2.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.1.2.3

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.1.2.4

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.1.2.5

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.1.2.6

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.1.2.7

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.1.2.8

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.1.2.9

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.3

化简每一个元素。

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解题步骤 1.4.2.3.1

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.3.4

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.3.5

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.3.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.3.7

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.3.8

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 4 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.3.9

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

求当 $λ = 4$ 时的零空间。

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解题步骤 1.4.3.1

写成 $A x = 0$ 的增广矩阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 1.4.3.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.1.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2.2

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.2.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 2 & 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2.3

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{3}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.3.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{3}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2.4

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.4.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 & 0 + 9 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2.4.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2.5

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.5.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2.5.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 1.4.3.4

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.5

把解写成向量的线性组合。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.6

写成解集。

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

解题步骤 1.4.3.7

解为通过方程组自由变量创建的向量集合。

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 1.5

用特征值 $λ = 7$ 求特征向量。

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解题步骤 1.5.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.5.2

化简。

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解题步骤 1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.1.1

将 $- 7$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.5.2.1.2.1

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.1.2.2

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.1.2.3

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.1.2.4

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.1.2.5

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.1.2.6

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.1.2.7

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.1.2.8

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.1.2.9

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 5 - 7 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.3

化简每一个元素。

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解题步骤 1.5.2.3.1

从 $5$ 中减去 $7$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.3.4

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.3.5

从 $5$ 中减去 $7$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.3.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.3.7

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.3.8

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 7 \end{array}]$

解题步骤 1.5.2.3.9

从 $4$ 中减去 $7$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3

求当 $λ = 7$ 时的零空间。

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解题步骤 1.5.3.1

写成 $A x = 0$ 的增广矩阵。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 1.5.3.2.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{2}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{2}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.2.2

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.2.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.5.3.2.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot - 1 & - 3 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.2.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.2.4

交换 $R_{3}$ 和 $R_{2}$ ，以在 $2, 2$ 中放入一个非零项。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.2.5

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{3}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 1.5.3.2.5.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{3}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.2.5.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.2.6

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.5.3.2.6.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.2.6.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

解题步骤 1.5.3.4

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.5

把解写成向量的线性组合。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 1.5.3.6

写成解集。

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

解题步骤 1.5.3.7

解为通过方程组自由变量创建的向量集合。

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 1.6

$A$ 的特征空间为每一特征值的向量空间列表。

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 2

将 $P$ 定义为特征向量的矩阵。

$P = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

求 $P$ 的逆。

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解题步骤 3.1

求行列式。

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解题步骤 3.1.1

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $2$ 列中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 3.1.1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 3.1.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 3.1.1.3

$a_{12}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.1.1.4

将元素 $a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.1.1.5

$a_{22}$ 的子式是已删除了行 $2$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.1.1.6

将元素 $a_{22}$ 乘以其代数余子式。

$0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.1.1.7

$a_{32}$ 的子式是已删除了行 $3$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.1.1.8

将元素 $a_{32}$ 乘以其代数余子式。

$- 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.1.1.9

最后把这些项加起来。

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.1.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

$0 + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.1.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

$0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

解题步骤 3.1.4

计算 $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

解题步骤 3.1.4.2

化简行列式。

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解题步骤 3.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1)$

解题步骤 3.1.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5})$

解题步骤 3.1.4.2.2

在公分母上合并分子。

$0 + 0 - 1 \frac{- 1 - 1}{5}$

解题步骤 3.1.4.2.3

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$0 + 0 - 1 (\frac{- 2}{5})$

解题步骤 3.1.4.2.4

将负号移到分数的前面。

$0 + 0 - 1 (- \frac{2}{5})$

解题步骤 3.1.5

化简行列式。

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解题步骤 3.1.5.1

乘以 $- 1 (- \frac{2}{5})$ 。

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解题步骤 3.1.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 0 + 1 (\frac{2}{5})$

解题步骤 3.1.5.1.2

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 + \frac{2}{5}$

解题步骤 3.1.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + \frac{2}{5}$

解题步骤 3.1.5.3

将 $0$ 和 $\frac{2}{5}$ 相加。

$\frac{2}{5}$

解题步骤 3.2

由于行列式非零，所以逆存在。

解题步骤 3.3

设置一个 $3 \times 6$ 矩阵，其中左半部分是原始矩阵，右半部分是其单位矩阵。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.4

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.4.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $- 5$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $- 5$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - 5 (- \frac{1}{5}) & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.4.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 0 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 1 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.4.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.4.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 1 + 5 & 0 + 5 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.4.4

交换 $R_{3}$ 和 $R_{2}$ ，以在 $2, 2$ 中放入一个非零项。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4.5

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.4.5.1

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.4.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4.6

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.4.6.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 5 - 6 (\frac{1}{2}) & 0 - 6 (\frac{1}{2}) & 1 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4.6.2

化简 $R_{2}$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4.7

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.4.7.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4.7.2

化简 $R_{1}$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.5

行简化阶梯形的右半部分是逆。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4

使用相似性转换求对角矩阵 $D$ 。

$D = P^{- 1} A P$

解题步骤 5

代入矩阵。

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

乘以 $[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ 。

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解题步骤 6.1.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是 $3 \times 3$ ，第二个矩阵是 $3 \times 3$ 。

解题步骤 6.1.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} \cdot 5 + \frac{5}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & - \frac{5}{2} \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & - \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \\ 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 1 & 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 6.1.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 6.2

乘以 $[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$ 。

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解题步骤 6.2.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是 $3 \times 3$ ，第二个矩阵是 $3 \times 3$ 。

解题步骤 6.2.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 0 + \frac{15}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 1 + \frac{15}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 8 (- \frac{1}{5}) - 12 (\frac{1}{5}) + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \\ \frac{7}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 6.2.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array}]$

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