线性代数示例

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征向量。

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解题步骤 1.1

求特征值。

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解题步骤 1.1.1

建立公式以求特征方程

p (λ)

$p (λ)$ 。

p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 1.1.2

大小为

2

$2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的

2 \times 2

$2 \times 2$ 方阵。

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.1.3

将已知值代入

p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

代入

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ 替换

A

$A$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 1.1.3.2

代入

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换

I_{2}

$I_{2}$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.1.1

将

- λ

$- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.1.4.1.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.2

乘以

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.2.2.1

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.2.2

将

0

$0$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.3

乘以

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.2.3.1

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.3.2

将

0

$0$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.1.2.4

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.1.4.2

加上相应元素。

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} 4 - λ & 2 + 0 3 + 0 & 3 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.1.4.3

化简每一个元素。

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解题步骤 1.1.4.3.1

将

2

$2$ 和

0

$0$ 相加。

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 + 0 & 3 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.1.4.3.2

将

3

$3$ 和

0

$0$ 相加。

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 3 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 3 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

p (λ) = 行列式 [\begin{matrix} 4 - λ & 2 3 & 3 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.1.5

求行列式。

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解题步骤 1.1.5.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.1.5.2

化简行列式。

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解题步骤 1.1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.2.1.1

使用 FOIL 方法展开

(4 - λ) (3 - λ)

$(4 - λ) (3 - λ)$ 。

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解题步骤 1.1.5.2.1.1.1

运用分配律。

p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.1.5.2.1.1.2

运用分配律。

p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.1.5.2.1.1.3

运用分配律。

p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.1.5.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.5.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.2.1.2.1.1

将

4

$4$ 乘以

3

$3$ 。

p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.1.5.2.1.2.1.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

4

$4$ 。

p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.1.5.2.1.2.1.3

将

3

$3$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.1.5.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.1.5.2.1.2.1.5

通过指数相加将

λ

$λ$ 乘以

λ

$λ$ 。

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解题步骤 1.1.5.2.1.2.1.5.1

移动

λ

$λ$ 。

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.1.5.2.1.2.1.5.2

将

λ

$λ$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.1.5.2.1.2.1.6

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.1.5.2.1.2.1.7

将

λ^{2}

$λ^{2}$ 乘以

1

$1$ 。

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.1.5.2.1.2.2

从

- 4 λ

$- 4 λ$ 中减去

3 λ

$3 λ$ 。

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

解题步骤 1.1.5.2.1.3

将

- 3

$- 3$ 乘以

2

$2$ 。

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

解题步骤 1.1.5.2.2

从

12

$12$ 中减去

6

$6$ 。

p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

解题步骤 1.1.5.2.3

将

- 7 λ

$- 7 λ$ 和

λ^{2}

$λ^{2}$ 重新排序。

p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

解题步骤 1.1.6

使特征多项式等于

0

$0$ ，以求特征值

λ

$λ$ 。

λ^{2} - 7 λ + 6 = 0

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

解题步骤 1.1.7

求解

λ

$λ$ 。

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解题步骤 1.1.7.1

使用 AC 法来对

λ^{2} - 7 λ + 6

$λ^{2} - 7 λ + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.7.1.1

思考一下

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

c

$c$ ，且和为

b

$b$ 。在本例中，其积即为

6

$6$ ，和为

- 7

$- 7$ 。

- 6, - 1

$- 6, - 1$

解题步骤 1.1.7.1.2

使用这些整数书写分数形式。

(λ - 6) (λ - 1) = 0

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

(λ - 6) (λ - 1) = 0

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

解题步骤 1.1.7.2

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

λ - 6 = 0

$λ - 6 = 0$

λ - 1 = 0

$λ - 1 = 0$

解题步骤 1.1.7.3

将

λ - 6

$λ - 6$ 设为等于

0

$0$ 并求解

λ

$λ$ 。

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解题步骤 1.1.7.3.1

将

λ - 6

$λ - 6$ 设为等于

0

$0$ 。

λ - 6 = 0

$λ - 6 = 0$

解题步骤 1.1.7.3.2

在等式两边都加上

6

$6$ 。

λ = 6

$λ = 6$

λ = 6

$λ = 6$

解题步骤 1.1.7.4

将

λ - 1

$λ - 1$ 设为等于

0

$0$ 并求解

λ

$λ$ 。

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解题步骤 1.1.7.4.1

将

λ - 1

$λ - 1$ 设为等于

0

$0$ 。

λ - 1 = 0

$λ - 1 = 0$

解题步骤 1.1.7.4.2

在等式两边都加上

1

$1$ 。

λ = 1

$λ = 1$

λ = 1

$λ = 1$

解题步骤 1.1.7.5

最终解为使

(λ - 6) (λ - 1) = 0

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$ 成立的所有值。

λ = 6, 1

$λ = 6, 1$

λ = 6, 1

$λ = 6, 1$

λ = 6, 1

$λ = 6, 1$

解题步骤 1.2

特征向量等于矩阵的零空间减去特征值再乘以单位矩阵，在其中，

N

$N$ 是零空间，

I

$I$ 是单位矩阵。

ε_{A} = N (A - λ I_{2})

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

解题步骤 1.3

用特征值

λ = 6

$λ = 6$ 求特征向量。

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解题步骤 1.3.1

将已知值代入公式中。

N ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] - 6 [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.3.2

化简。

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解题步骤 1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.1.1

将

- 6

$- 6$ 乘以矩阵中的每一个元素。

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.3.2.1.2.1

将

- 6

$- 6$ 乘以

1

$1$ 。

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 6 & - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.1.2.2

将

- 6

$- 6$ 乘以

0

$0$ 。

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 6 & 0 - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.1.2.3

将

- 6

$- 6$ 乘以

0

$0$ 。

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 6 & 0 0 & - 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.1.2.4

将

- 6

$- 6$ 乘以

1

$1$ 。

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 6 & 0 0 & - 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 6 & 0 0 & - 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

[\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 6 & 0 0 & - 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.2

加上相应元素。

[\begin{matrix} 4 - 6 & 2 + 0 3 + 0 & 3 - 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.3

化简每一个元素。

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解题步骤 1.3.2.3.1

从

4

$4$ 中减去

6

$6$ 。

[\begin{matrix} - 2 & 2 + 0 3 + 0 & 3 - 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.3.2

将

2

$2$ 和

0

$0$ 相加。

[\begin{matrix} - 2 & 2 3 + 0 & 3 - 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.3.3

将

3

$3$ 和

0

$0$ 相加。

[\begin{matrix} - 2 & 2 3 & 3 - 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2.3.4

从

3

$3$ 中减去

6

$6$ 。

[\begin{matrix} - 2 & 2 3 & - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

[\begin{matrix} - 2 & 2 3 & - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

[\begin{matrix} - 2 & 2 3 & - 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3

求当

λ = 6

$λ = 6$ 时的零空间。

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解题步骤 1.3.3.1

写成

A x = 0

$A x = 0$ 的增广矩阵。

[\begin{matrix} - 2 & 2 & 0 3 & - 3 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 1.3.3.2.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

[\begin{matrix} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 3 & - 3 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2.1.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

[\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 3 & - 3 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 3 & - 3 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2.2

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.2.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

x - y = 0

$x - y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

解题步骤 1.3.3.4

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} y y \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.5

把解写成向量的线性组合。

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = y [\begin{matrix} 11 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3.3.6

写成解集。

{y [\begin{matrix} 11 \end{matrix}] ∣ ∣ ∣ y \in R}

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 1.3.3.7

解为通过方程组自由变量创建的向量集合。

{[\begin{matrix} 11 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{matrix} 11 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{matrix} 11 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 1.4

用特征值

λ = 1

$λ = 1$ 求特征向量。

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解题步骤 1.4.1

将已知值代入公式中。

N ([\begin{matrix} 4 & 2 3 & 3 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.1

减去相应的元素。

[\begin{matrix} 4 - 1 & 2 - 0 3 - 0 & 3 - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.2

化简每一个元素。

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解题步骤 1.4.2.2.1

从

4

$4$ 中减去

1

$1$ 。

[\begin{matrix} 3 & 2 - 0 3 - 0 & 3 - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.2.2

从

2

$2$ 中减去

0

$0$ 。

[\begin{matrix} 3 & 2 3 - 0 & 3 - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.2.3

从

3

$3$ 中减去

0

$0$ 。

[\begin{matrix} 3 & 2 3 & 3 - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.2.2.4

从

3

$3$ 中减去

1

$1$ 。

[\begin{matrix} 3 & 2 3 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} 3 & 2 3 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} 3 & 2 3 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

求当

λ = 1

$λ = 1$ 时的零空间。

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解题步骤 1.4.3.1

写成

A x = 0

$A x = 0$ 的增广矩阵。

[\begin{matrix} 3 & 2 & 0 3 & 2 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 1.4.3.2.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.1.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

[\begin{matrix} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} 3 & 2 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2.1.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

[\begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 3 & 2 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 3 & 2 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2.2

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.2.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

x + \frac{2}{3} y = 0

$x + \frac{2}{3} y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

解题步骤 1.4.3.4

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - \frac{2 y}{3} y \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.5

把解写成向量的线性组合。

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = y [\begin{matrix} - \frac{2}{3} 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.6

写成解集。

{y [\begin{matrix} - \frac{2}{3} 1 \end{matrix}] ∣ ∣ ∣ ∣ y \in R}

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 1.4.3.7

解为通过方程组自由变量创建的向量集合。

{[\begin{matrix} - \frac{2}{3} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{matrix} - \frac{2}{3} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{matrix} - \frac{2}{3} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 1.5

A

$A$ 的特征空间为每一特征值的向量空间列表。

{[\begin{matrix} 11 \end{matrix}], [\begin{matrix} - \frac{2}{3} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{matrix} 11 \end{matrix}], [\begin{matrix} - \frac{2}{3} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 2

将

P

$P$ 定义为特征向量的矩阵。

P = [\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} 1 & 1 \end{matrix}]

$P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

求

P

$P$ 的逆。

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解题步骤 3.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的逆矩阵可以通过使用公式

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ 求得，其中

$a d - b c$ 是行列式。

解题步骤 3.2

求行列式。

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解题步骤 3.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}$

解题步骤 3.2.2

化简行列式。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将

$1$ 乘以

$1$ 。

$1 - - \frac{2}{3}$

解题步骤 3.2.2.1.2

乘以

$- - \frac{2}{3}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$1 + 1 (\frac{2}{3})$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

将

$\frac{2}{3}$ 乘以

$1$ 。

$1 + \frac{2}{3}$

解题步骤 3.2.2.2

将

$1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 3.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 + 2}{3}$

解题步骤 3.2.2.4

将

$3$ 和

$2$ 相加。

$\frac{5}{3}$

解题步骤 3.3

由于行列式非零，所以逆存在。

解题步骤 3.4

将已知值代入逆的公式中。

$P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.5

将分子乘以分母的倒数。

$P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.6

将

$\frac{3}{5}$ 乘以

$1$ 。

$P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3.7

将

$\frac{3}{5}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.8

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 3.8.1

将

$\frac{3}{5}$ 乘以

$1$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.8.2

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.2.1

约去公因数。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.8.2.2

重写表达式。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.8.3

组合

$\frac{1}{5}$ 和

$2$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.8.4

乘以

$\frac{3}{5} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.8.4.1

组合

$\frac{3}{5}$ 和

$- 1$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.8.4.2

将

$3$ 乘以

$- 1$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.8.5

将负号移到分数的前面。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.8.6

将

$\frac{3}{5}$ 乘以

$1$ 。

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

解题步骤 4

使用相似性转换求对角矩阵

$D$ 。

$D = P^{- 1} A P$

解题步骤 5

代入矩阵。

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

乘以

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ 。

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解题步骤 6.1.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是

$2 \times 2$ ，第二个矩阵是

$2 \times 2$ 。

解题步骤 6.1.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 6.1.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 6.2

乘以

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$ 。

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解题步骤 6.2.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是

$2 \times 2$ ，第二个矩阵是

$2 \times 2$ 。

解题步骤 6.2.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 6.2.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

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