线性代数示例

A = [\begin{matrix} 81 \end{matrix}]

$A = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ ,

x = [\begin{matrix} 3 x + 3 y 4 x - y \end{matrix}]

$x = [\begin{array}{c} 3 x + 3 y \\ 4 x - y \end{array}]$

解题步骤 1

写成

x \cdot x = [\begin{matrix} 81 \end{matrix}]

$x \cdot x = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ 的增广矩阵。

[\begin{matrix} 3 x + 3 y & 8 4 x - y & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 x + 3 y & 8 \\ 4 x - y & 1 \end{array}]$

解题步骤 2

写成线性方程组。

8 = 3 x + 3 y

$8 = 3 x + 3 y$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

将变量移到左边，将常量移到右边。

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解题步骤 3.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1.1.1

从等式两边同时减去

3 x

$3 x$ 。

8 - 3 x = 3 y

$8 - 3 x = 3 y$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

解题步骤 3.1.1.2

从等式两边同时减去

3 y

$3 y$ 。

8 - 3 x - 3 y = 0

$8 - 3 x - 3 y = 0$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

8 - 3 x - 3 y = 0

$8 - 3 x - 3 y = 0$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去

8

$8$ 。

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

解题步骤 3.1.3

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1.3.1

从等式两边同时减去

4 x

$4 x$ 。

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x = - y

$1 - 4 x = - y$

解题步骤 3.1.3.2

在等式两边都加上

y

$y$ 。

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x + y = 0

$1 - 4 x + y = 0$

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x + y = 0

$1 - 4 x + y = 0$

解题步骤 3.1.4

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

- 4 x + y = - 1

$- 4 x + y = - 1$

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

- 4 x + y = - 1

$- 4 x + y = - 1$

解题步骤 3.2

把方程组写成矩阵。

[\begin{matrix} - 3 & - 3 & - 8 - 4 & 1 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 & - 3 & - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.3.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

[\begin{matrix} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 - 4 & 1 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.1.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

[\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} - 4 & 1 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} - 4 & 1 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

执行行操作

R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{array}]$

解题步骤 3.3.3.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

解题步骤 3.3.4

执行行操作

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

解题步骤 3.3.4.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{11}{15} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{11}{15} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{11}{15} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

解题步骤 3.4

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

x = \frac{11}{15}

$x = \frac{11}{15}$

y = \frac{29}{15}

$y = \frac{29}{15}$

解题步骤 3.5

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{11}{15} \frac{29}{15} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]$

解题步骤 3.6

写成解集。

{[\begin{matrix} \frac{11}{15} \frac{29}{15} \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

{[\begin{matrix} \frac{11}{15} \frac{29}{15} \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

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