线性代数示例

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}]$

解题步骤 1

变换核是使变换等于零向量（变换厡像）的一个向量。

$[\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}] = 0$

解题步骤 2

从向量方程创建一个方程组。

$a - b - c = 0$

$a - b + c = 0$

$a + b + 5 c = 0$

解题步骤 3

把方程组写成矩阵。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 4.1.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.2

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 4.2.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 5 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3

交换 $R_{3}$ 和 $R_{2}$ ，以在 $2, 2$ 中放入一个非零项。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.4

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.5

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.6

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 4.6.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.6.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.7

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 4.7.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.7.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.8

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 4.8.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.8.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$a = 0$

$b = 0$

$c = 0$

解题步骤 6

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 7

写成解集。

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

解题步骤 8

$S$ 的核心是子空间 ${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ 。

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

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